حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{9}{\sqrt[3]{x + 1}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x + 1}$ في صورة ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

خطوة 1.1.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ بالصيغة ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

خطوة 1.1.3.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

خطوة 1.1.3.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

خطوة 1.1.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.6.2

اطرح $3$ من $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.8

اجمع ${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$9 (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

انقُل ${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.9.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$- 9 (\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.10

اجمع $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ و $- 9$ .

$\frac{- 9}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.11

أخرِج العامل $3$ من $- 9$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.14

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.16

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

خطوة 1.17

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.17.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

خطوة 1.17.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = - \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}]$

خطوة 2.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ بالصيغة ${({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

خطوة 2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

خطوة 2.1.2.2.2

اضرب $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.2.1

اجمع $\frac{4}{3}$ و $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

خطوة 2.1.2.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 4}{3}}]$

خطوة 2.1.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{4}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.6.2

اطرح $3$ من $- 4$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.8

اجمع ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ و $\frac{4}{3}$ .

$- 3 (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

انقُل $4$ إلى يسار ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$- 3 (- \frac{4 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.9.2

انقُل ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.9.3

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$3 (\frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 2.10

اجمع $\frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$ و $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.11

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{12}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.12

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.14

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.16

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (1 + 0)$

خطوة 2.17

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 1$

خطوة 2.17.2

اضرب $\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$