حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$8 z^{2} e^{z}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $8 z^{2} e^{z}$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $8 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}]$ .

$8 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ هو $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ حيث $f (z) = z^{2}$ و $g (z) = e^{z}$ .

$8 (z^{2} \frac{d}{d z} [e^{z}] + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ هو $a^{z} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z))$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 (z^{2} e^{z}) + 8 (e^{z} (2 z))$

خطوة 1.5.2

اضرب $2$ في $8$ .

$8 z^{2} e^{z} + 16 e^{z} z$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$8 e^{z} z^{2} + 16 e^{z} z$

خطوة 1.5.4

أعِد ترتيب العوامل في $8 e^{z} z^{2} + 16 e^{z} z$ .

$f' (z) = 8 z^{2} e^{z} + 16 z e^{z}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 z^{2} e^{z} + 16 z e^{z}$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [8 z^{2} e^{z}] + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$ .

$\frac{d}{d z} [8 z^{2} e^{z}] + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d z} [8 z^{2} e^{z}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $8 z^{2} e^{z}$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $8 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}]$ .

$8 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}] + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$

خطوة 2.2.2

$8 (z^{2} \frac{d}{d z} [e^{z}] + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}]) + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ هو $a^{z} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}]) + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $16 z e^{z}$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $16 \frac{d}{d z} [z e^{z}]$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + 16 \frac{d}{d z} [z e^{z}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ هو $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ حيث $f (z) = z$ و $g (z) = e^{z}$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + 16 (z \frac{d}{d z} [e^{z}] + e^{z} \frac{d}{d z} [z])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ هو $a^{z} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + 16 (z e^{z} + e^{z} \frac{d}{d z} [z])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + 16 (z e^{z} + e^{z} \cdot 1)$

خطوة 2.3.5

اضرب $e^{z}$ في $1$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + 16 (z e^{z} + e^{z})$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 (z^{2} e^{z}) + 8 (e^{z} (2 z)) + 16 (z e^{z} + e^{z})$

خطوة 2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$8 (z^{2} e^{z}) + 8 (e^{z} (2 z)) + 16 (z e^{z}) + 16 e^{z}$

خطوة 2.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اضرب $2$ في $8$ .

$8 z^{2} e^{z} + 16 (e^{z} (z)) + 16 (z e^{z}) + 16 e^{z}$

خطوة 2.4.3.2

أضف $16 e^{z} z$ و $16 z e^{z}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.2.1

انقُل $e^{z}$ .

$8 z^{2} e^{z} + 16 z e^{z} + 16 z e^{z} + 16 e^{z}$

خطوة 2.4.3.2.2

أضف $16 z e^{z}$ و $16 z e^{z}$ .

$8 z^{2} e^{z} + 32 z e^{z} + 16 e^{z}$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$8 e^{z} z^{2} + 32 e^{z} z + 16 e^{z}$

خطوة 2.4.5

أعِد ترتيب العوامل في $8 e^{z} z^{2} + 32 e^{z} z + 16 e^{z}$ .

$f'' (z) = 8 z^{2} e^{z} + 32 z e^{z} + 16 e^{z}$