حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 \sqrt{x}$ , $y = 4$ , $x = 0$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = 4$ و $g (x) = 4 \sqrt{x}$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$V = 16 - {(4 \sqrt{x})}^{2}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الضرب على $4 \sqrt{x}$ .

$V = 16 - (4^{2} {\sqrt{x}}^{2})$

خطوة 2.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$V = 16 - (16 {\sqrt{x}}^{2})$

خطوة 2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = 16 - (16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

خطوة 2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 - (16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

خطوة 2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

خطوة 2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

خطوة 2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$V = 16 - (16 x)$

خطوة 2.4.5

بسّط.

$V = 16 - (16 x)$

خطوة 2.5

اضرب $16$ في $- 1$ .

$V = 16 - 16 x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{1} 16 d x + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (16 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

خطوة 5

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 16$ خارج التكامل.

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 \int_{0}^{1} x d x)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}))$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

خطوة 7.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احسِب قيمة $16 x$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π ((16 \cdot 1) - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

خطوة 7.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π (16 \cdot 1 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $16$ في $1$ .

$V = π (16 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $- 16$ في $0$ .

$V = π (16 + 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 7.2.3.3

أضف $16$ و $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 7.2.3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 7.2.3.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}))$

خطوة 7.2.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.6.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

خطوة 7.2.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

خطوة 7.2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

خطوة 7.2.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}))$

خطوة 7.2.3.6.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - 0))$

خطوة 7.2.3.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} + 0))$

خطوة 7.2.3.8

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2}))$

خطوة 7.2.3.9

اجمع $- 16$ و $\frac{1}{2}$ .

$V = π (16 + \frac{- 16}{2})$

خطوة 7.2.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.10.1

أخرِج العامل $2$ من $- 16$ .

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2})$

خطوة 7.2.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)})$

خطوة 7.2.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1})$

خطوة 7.2.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (16 + \frac{- 8}{1})$

خطوة 7.2.3.10.2.4

اقسِم $- 8$ على $1$ .

$V = π (16 - 8)$

خطوة 7.2.3.11

اطرح $8$ من $16$ .

$V = π \cdot 8$

خطوة 7.2.3.12

انقُل $8$ إلى يسار $π$ .

$V = 8 π$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = 8 π$

الصيغة العشرية:

$V = 25.13274122 \dots$

خطوة 9