حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (| 3 x^{2} - 7 x |)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| 3 x^{2} - 7 x |))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = | 3 x^{2} - 7 x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $| 3 x^{2} - 7 x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $| 3 x^{2} - 7 x |$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = | x |$ و $g (x) = 3 x^{2} - 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x^{2} - 7 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

خطوة 3.2.2

مشتق $| u_{2} |$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x^{2} - 7 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ في $\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x | | 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

خطوة 3.4

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| (3 x^{2} - 7 x) (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

خطوة 3.5

ارفع $3 x^{2} - 7 x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

خطوة 3.6

ارفع $3 x^{2} - 7 x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

خطوة 3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

خطوة 3.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 7 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

خطوة 3.10

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

خطوة 3.12

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

خطوة 3.13

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \cdot 1)$

خطوة 3.15

اضرب $- 7$ في $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$

خطوة 3.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

خطوة 3.16.2

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2} - 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.2.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

خطوة 3.16.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 7 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) + x \cdot - 7}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

خطوة 3.16.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (3 x) + x \cdot - 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

خطوة 3.16.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2} - 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) - 7 x)}^{2} |}$

خطوة 3.16.3.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 7 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) + x \cdot - 7)}^{2} |}$

خطوة 3.16.3.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (3 x) + x \cdot - 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x - 7))}^{2} |}$

خطوة 3.16.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $x (3 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

خطوة 3.16.3.3

أعِد كتابة ${(3 x - 7)}^{2}$ بالصيغة $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ((3 x - 7) (3 x - 7)) |}$

خطوة 3.16.3.4

وسّع $(3 x - 7) (3 x - 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)) |}$

خطوة 3.16.3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)) |}$

خطوة 3.16.3.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

خطوة 3.16.3.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

خطوة 3.16.3.5.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.5.1.2.1

انقُل $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

خطوة 3.16.3.5.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

خطوة 3.16.3.5.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

خطوة 3.16.3.5.1.4

اضرب $- 7$ في $3$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

خطوة 3.16.3.5.1.5

اضرب $3$ في $- 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7) |}$

خطوة 3.16.3.5.1.6

اضرب $- 7$ في $- 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49) |}$

خطوة 3.16.3.5.2

اطرح $21 x$ من $- 21 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

خطوة 3.16.3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

خطوة 3.16.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.7.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

خطوة 3.16.3.7.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + x^{2} \cdot 49 |}$

خطوة 3.16.3.7.3

انقُل $49$ إلى يسار $x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

خطوة 3.16.3.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.8.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.8.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 (x^{2} x^{2}) - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

خطوة 3.16.3.8.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2 + 2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

خطوة 3.16.3.8.1.3

أضف $2$ و $2$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

خطوة 3.16.3.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.8.2.1

انقُل $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x \cdot x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

خطوة 3.16.3.8.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x^{1} x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

خطوة 3.16.3.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{1 + 2} + 49 \cdot x^{2} |}$

خطوة 3.16.3.8.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 \cdot x^{2} |}$

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

خطوة 3.16.3.9

أخرِج العامل $x^{2}$ من $9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.9.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $9 x^{4}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

خطوة 3.16.3.9.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 42 x^{3}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + 49 x^{2} |}$

خطوة 3.16.3.9.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $49 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

خطوة 3.16.3.9.4

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

خطوة 3.16.3.9.5

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

خطوة 3.16.3.10

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.3.10.1

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 49) |}$

خطوة 3.16.3.10.2

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 7^{2}) |}$

خطوة 3.16.3.10.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$42 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 7$

خطوة 3.16.3.10.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 7 + 7^{2}) |}$

خطوة 3.16.3.10.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = 3 x$ و $b = 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

خطوة 3.16.4

احذف الحدود غير السالبة من القيمة المطلقة.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x^{2} {(3 x - 7)}^{2}}$

خطوة 3.16.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} {(3 x - 7)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

خطوة 3.16.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

خطوة 3.16.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$(6 x - 7) \frac{3 x - 7}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

خطوة 3.16.6

احذِف العامل المشترك لـ $3 x - 7$ و ${(3 x - 7)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.6.1

اضرب في $1$ .

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

خطوة 3.16.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.6.2.1

أخرِج العامل $3 x - 7$ من $x {(3 x - 7)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

خطوة 3.16.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

خطوة 3.16.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$(6 x - 7) \frac{1}{x (3 x - 7)}$

خطوة 3.16.7

اضرب $6 x - 7$ في $\frac{1}{x (3 x - 7)}$ .

$\frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$