حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{3} \sqrt{x^{2} + 3}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 3}$ في صورة ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{3} (\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.7.3

انقُل ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.7.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.10

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.11.2

اجمع $2$ و $\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.11.3

اجمع $\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{2 x^{3} x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{3})}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.14

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{2 x^{4}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{4}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 4.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

خطوة 4.16

انقُل $3$ إلى يسار ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

خطوة 4.17

جمّع $\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ و $3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.1

انقُل ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.17.2

لكتابة $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.17.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.18

اضرب ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.1

انقُل ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} ({(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.18.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.18.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.18.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.18.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.19

بسّط $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.20.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.20.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.20.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.20.2.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.20.2.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{x^{4} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.20.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.20.2.1.1.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.20.2.1.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{4} + 9 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.20.2.2

أضف $x^{4}$ و $3 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{4} + 9 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.20.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $4 x^{4} + 9 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.20.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $4 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{2}) + 9 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.20.3.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot 9}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.20.3.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot 9$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{x^{2} (4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$