حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 0}^{5} 32 {(\frac{3}{4})}^{i}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{i}$ و $a_{i + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{32 {(\frac{3}{4})}^{i + 1}}{32 {(\frac{3}{4})}^{i}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{32 {(\frac{3}{4})}^{i + 1}}{32 {(\frac{3}{4})}^{i}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i + 1}}{{(\frac{3}{4})}^{i}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{3}{4})}^{i + 1}$ و ${(\frac{3}{4})}^{i}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{3}{4})}^{i}$ من ${(\frac{3}{4})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i} \frac{3}{4}}{{(\frac{3}{4})}^{i}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i} \frac{3}{4}}{{(\frac{3}{4})}^{i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i} \frac{3}{4}}{{(\frac{3}{4})}^{i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم $\frac{3}{4}$ على $1$ .

$r = \frac{3}{4}$

خطوة 3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $0$ عن $i$ في $32 {(\frac{3}{4})}^{i}$ .

$a = 32 {(\frac{3}{4})}^{0}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{4}$ .

$a = 32 \frac{3^{0}}{4^{0}}$

خطوة 3.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 32 \frac{1}{4^{0}}$

خطوة 3.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 32 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$a = 32 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$a = 32 \cdot 1$

خطوة 3.2.5

اضرب $32$ في $1$ .

$a = 32$

خطوة 4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$32 \frac{1 - {(\frac{3}{4})}^{6}}{1 - \frac{3}{4}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب بسط الكسر وقاسمه في $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{3}{4})}^{6}}{1 - \frac{3}{4}}$ في $\frac{4}{4}$ .

$32 (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{4})}^{6}}{1 - \frac{3}{4}})$

خطوة 5.1.2

اجمع.

$32 \frac{4 (1 - {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{3}{4})}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{3}{4})}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{4}$ إلى بسط الكسر.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 3}{4})}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 3}{4})}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $4$ في $1$ .

$32 \frac{4 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{4}$ .

$32 \frac{4 + 4 (- \frac{3^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3^{6}}{4^{6}}$ إلى بسط الكسر.

$32 \frac{4 + 4 \frac{- 3^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $4$ من $4^{6}$ .

$32 \frac{4 + 4 \frac{- 3^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$32 \frac{4 + 4 \frac{- 3^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$32 \frac{4 + \frac{- 3^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.4

ارفع $3$ إلى القوة $6$ .

$32 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 729}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.5

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$32 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.6

اضرب $- 1$ في $729$ .

$32 \frac{4 + \frac{- 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$32 \frac{4 - \frac{729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.8

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1024}{1024}$ .

$32 \frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.9

اجمع $4$ و $\frac{1024}{1024}$ .

$32 \frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$32 \frac{\frac{4 \cdot 1024 - 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.11.1

اضرب $4$ في $1024$ .

$32 \frac{\frac{4096 - 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.11.2

اطرح $729$ من $4096$ .

$32 \frac{\frac{3367}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $4$ في $1$ .

$32 \frac{\frac{3367}{1024}}{4 - 3}$

خطوة 5.5.2

اطرح $3$ من $4$ .

$32 \frac{\frac{3367}{1024}}{1}$

خطوة 5.6

اقسِم $\frac{3367}{1024}$ على $1$ .

$32 (\frac{3367}{1024})$

خطوة 5.7

ألغِ العامل المشترك لـ $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أخرِج العامل $32$ من $1024$ .

$32 \frac{3367}{32 (32)}$

خطوة 5.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$32 \frac{3367}{32 \cdot 32}$

خطوة 5.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3367}{32}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3367}{32}$

الصيغة العشرية:

$105.21875$

صيغة العدد الذي به كسر:

$105 \frac{7}{32}$