حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{2})}^{i}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{i}$ و $a_{i + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

خطوة 2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ و ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ من ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{- \frac{1}{2}}{1}$

خطوة 2.2.2.4

اقسِم $- \frac{1}{2}$ على $1$ .

$r = - \frac{1}{2}$

خطوة 3

بما أن $| r | < 1$ ، إذن السلسلة متقاربة.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $i$ في ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

خطوة 4.2

بسّط.

$a = - \frac{1}{2}$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{- \frac{1}{2}}{1 - - \frac{1}{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

خطوة 6.2.4

أضف $2$ و $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

خطوة 6.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{2} (1 (\frac{2}{3}))$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 6.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 6.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{3}$

الصيغة العشرية:

$- 0.\overline{3}$