حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{\infty} 4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{i}$ و $a_{i + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ و ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ من ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم ${(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ على $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

خطوة 2.2.3

أضف $i$ و $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - (i - 1)}$

خطوة 2.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - i - - 1}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - i + 1}$

خطوة 2.2.5

اطرح $i$ من $i$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

خطوة 2.2.6

أضف $0$ و $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$r = \frac{2}{3}$

خطوة 3

بما أن $| r | < 1$ ، إذن السلسلة متقاربة.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $i$ في $4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

خطوة 4.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

خطوة 4.2.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

خطوة 4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

خطوة 4.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$a = 4 \cdot 1$

خطوة 4.2.6

اضرب $4$ في $1$ .

$a = 4$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{4}{1 - \frac{2}{3}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{4}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

خطوة 6.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4}{\frac{3 - 2}{3}}$

خطوة 6.1.3

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{4}{\frac{1}{3}}$

خطوة 6.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$4 \cdot 3$

خطوة 6.3

اضرب $4$ في $3$ .

$12$