حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{2}{3^{i}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{i}$ و $a_{i + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{\frac{2}{3^{i + 1}}}{\frac{2}{3^{i}}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$r = \frac{2}{3^{i + 1}} \cdot \frac{3^{i}}{2}$

خطوة 2.2.2

اجمع.

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{3^{i}}{3^{i + 1}}$

خطوة 2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $3^{i}$ و $3^{i + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أخرِج العامل $3^{i + 1}$ من $3^{i}$ .

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1}}$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{3^{i - (i + 1)}}{1}$

خطوة 2.2.4.2.4

اقسِم $3^{i - (i + 1)}$ على $1$ .

$r = 3^{i - (i + 1)}$

خطوة 2.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 3^{i - i - 1 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$r = 3^{i - i - 1}$

خطوة 2.2.6

اطرح $i$ من $i$ .

$r = 3^{0 - 1}$

خطوة 2.2.7

اطرح $1$ من $0$ .

$r = 3^{- 1}$

خطوة 2.2.8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

خطوة 3

بما أن $| r | < 1$ ، إذن السلسلة متقاربة.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $i$ في $\frac{2}{3^{i}}$ .

$a = \frac{2}{3^{1}}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة الأُس.

$a = \frac{2}{3}$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

خطوة 6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

خطوة 6.2.3

اطرح $1$ من $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

خطوة 6.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{2}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 6.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \cdot 3$

خطوة 6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot 3$

خطوة 6.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$