حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{2 + \cos (2 x)}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 + \cos (2 x)}$ في صورة ${(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 2 + \cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 + \cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 + \cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

خطوة 4.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(2 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

خطوة 4.6.2.2

انقُل ${(2 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

خطوة 4.6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

خطوة 4.6.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

خطوة 4.6.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4.7.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اجمع $\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$ و $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 4.8.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.8.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{\sin (2 x)}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.8.3.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sin (2 x)$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.9

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 ({(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 4.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{\sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$