حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{\frac{x}{x + 8}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\frac{x}{x + 8}}$ في صورة ${(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \frac{x}{x + 8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{x + 8}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{x + 8}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

خطوة 4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 8$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 4.8.2

اضرب $x + 8$ في $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 4.8.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 4.8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 4.8.5

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (1 + 0)}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 4.8.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x \cdot 1}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 4.8.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 4.8.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 8}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 4.8.6.4

أضف $0$ و $8$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{8}{{(x + 8)}^{2}}$

خطوة 4.8.6.5

اضرب $\frac{8}{{(x + 8)}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{{(x + 8)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4.8.6.6

انقُل $2$ إلى يسار ${(x + 8)}^{2}$ .

$\frac{8}{2 \cdot {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4.8.6.7

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.6.7.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4.8.6.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.6.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x + 8)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 ({(x + 8)}^{2})} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4.8.6.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4.8.6.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} {(\frac{x + 8}{x})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.9.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x + 8}{x}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1

اضرب $\frac{4}{{(x + 8)}^{2}}$ في $\frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.2

انقُل ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3

اضرب ${(x + 8)}^{2}$ في ${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.3.1

انقُل ${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + 2} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.3.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3.3.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$