حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (x^{2} + 2) (\ln (x^{2} + 1))$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 2) (\ln (x^{2} + 1)))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} + 2$ و $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$(x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$(x^{2} + 2) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$(x^{2} + 2) (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 2) \frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} + 2) \frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 3.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} + 2) \frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 3.3.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$(x^{2} + 2) \frac{1}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 3.3.4.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 3.3.4.3

اجمع $x$ و $\frac{2}{x^{2} + 1}$ .

$(x^{2} + 2) \frac{x \cdot 2}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 3.3.4.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2 \cdot x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 3.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 3.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 3.3.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

خطوة 3.3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (2 x)$

خطوة 3.3.8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$(x^{2} + 2) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 2 x \ln (x^{2} + 1)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = (x^{2} + 2) (\frac{2 x}{x^{2} + 1}) + 2 x \ln (x^{2} + 1)$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 2) (\frac{2 x}{x^{2} + 1}) + 2 x \ln (x^{2} + 1)$