حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x}{x^{2} + 3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 3})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اضرب $x^{2} + 3$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.7

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.8.2

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.8.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.8.4

أعِد كتابة $- (x^{2} - 3)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.8.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$