حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (x^{2} + y^{2})$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 3.5.2

اضرب $2 x + 2 y y'$ في $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 3.5.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 3.5.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $x^{2} + y^{2}$ .

$y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

خطوة 5.2.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' x^{2} + y' y^{2} = 2 (x + y y')$

خطوة 5.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' x^{2} + y' y^{2} = 2 x + 2 (y y')$

خطوة 5.2.2.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

انقُل $y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} = 2 x + 2 y' y$

خطوة 5.2.2.1.3.2

أعِد ترتيب $2 x$ و $2 y' y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} = 2 y' y + 2 x$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $2 y' y$ من كلا المتعادلين.

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y = 2 x$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x$

خطوة 5.3.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y' y$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x$

خطوة 5.3.2.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2}) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x$

خطوة 5.3.2.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x$

خطوة 5.3.3

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x$ على $x^{2} + y^{2} - 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x$ على $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

خطوة 5.3.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$