حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2} \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

خطوة 3.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

خطوة 3.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

خطوة 3.3.5

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.4.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

خطوة 3.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

خطوة 3.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اضرب $2$ في $6$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 (\sin (x) (x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

خطوة 3.5.3.2

اضرب $- 1$ في $12$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \sin (x) x - 12 (x (\sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

خطوة 3.5.3.3

اطرح $12 x \sin (x)$ من $12 \sin (x) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1

انقُل $\sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 x \sin (x) - 12 x \sin (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

خطوة 3.5.3.3.2

اطرح $12 x \sin (x)$ من $12 x \sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0 + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

خطوة 3.5.3.4

أضف $6 x^{2} \cos (x)$ و $0$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

خطوة 3.5.3.5

اطرح $12 \cos (x)$ من $12 \cos (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0$

خطوة 3.5.3.6

أضف $6 x^{2} \cos (x)$ و $0$ .

$6 x^{2} \cos (x)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 6 x^{2} \cos (x)$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} \cos (x)$