حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} = \sin^{4} (2 x) + \cos^{4} (2 x)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\sin^{4} (2 x) + \cos^{4} (2 x))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin^{4} (2 x) + \cos^{4} (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin^{4} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{4} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin^{4} (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (2 x)$ .

$4 \sin^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$4 \sin^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.2.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$4 \sin^{3} (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$4 \sin^{3} (2 x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.2.7

اضرب $2$ في $4$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $\cos (2 x)$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + 4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $\cos (2 x)$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + 4 \cos^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $2 x$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + 4 \cos^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\cos (u_{4})$ بالنسبة إلى $u_{4}$ يساوي $- \sin (u_{4})$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + 4 \cos^{3} (2 x) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $2 x$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + 4 \cos^{3} (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + 4 \cos^{3} (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + 4 \cos^{3} (2 x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 3.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + 4 \cos^{3} (2 x) (- \sin (2 x) \cdot 2)$

خطوة 3.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + 4 \cos^{3} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 3.3.7

اضرب $- 2$ في $4$ .

$8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' = 8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $2 y y' = 8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = 8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{2 y} + \frac{- 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{2 y}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{2 y} + \frac{- 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{2 y}$

خطوة 5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{2 y} + \frac{- 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{2 y}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{2 y} + \frac{- 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{2 y}$

خطوة 5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{2 y} + \frac{- 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{2 y}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)$ .

$y' = \frac{2 (4 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x))}{2 y} + \frac{- 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{2 y}$

خطوة 5.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{2 (4 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x))}{2 (y)} + \frac{- 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{2 y}$

خطوة 5.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (4 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x))}{2 y} + \frac{- 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{2 y}$

خطوة 5.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{4 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{y} + \frac{- 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{2 y}$

خطوة 5.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)$ .

$y' = \frac{4 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{y} + \frac{2 (- 4 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x))}{2 y}$

خطوة 5.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$y' = \frac{4 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{y} + \frac{2 (- 4 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x))}{2 (y)}$

خطوة 5.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{y} + \frac{2 (- 4 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x))}{2 y}$

خطوة 5.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{4 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{y} + \frac{- 4 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{y}$

خطوة 5.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{4 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{y} - \frac{4 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)}{y} - \frac{4 \cos^{3} (2 x) \sin (2 x)}{y}$