حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = \sqrt{y} + \sqrt[3]{y}$

خطوة 1

أعِد كتابة الطرف الأيمن بأُسس كسرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{y}$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{3}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}})$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.9

اجمع $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $y'$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.10

انقُل $y^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 4.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 4.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y'$

خطوة 4.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

خطوة 4.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

خطوة 4.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

خطوة 4.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y'$

خطوة 4.3.6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y'$

خطوة 4.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y'$

خطوة 4.3.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y'$

خطوة 4.3.9

اجمع $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ و $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

خطوة 4.3.10

انقُل $y^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$

خطوة 6.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$

خطوة 6.2.2

Since $2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 3, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{2}{3}}$ .

خطوة 6.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 6.2.4

بما أن $2$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $2$ .

$2$ هي عدد أولي

خطوة 6.2.5

بما أن $3$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $3$ .

$3$ هي عدد أولي

خطوة 6.2.6

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 6.2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $2, 3, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$2 \cdot 3$

خطوة 6.2.8

اضرب $2$ في $3$ .

$6$

خطوة 6.2.9

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{2}{3}}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 6.2.10

المضاعف المشترك الأصغر لـ $2 y^{\frac{1}{2}}, 3 y^{\frac{2}{3}}, 1$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $6$ في الجزء المتغير.

$6 y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 6.3

اضرب كل حد في $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ في $6 y^{\frac{2}{3}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كل حد في $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 1$ في $6 y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$6 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \cdot 3 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 3 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.3

اجمع $3$ و $\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{2}{3}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.4.1

أخرِج العامل $y^{\frac{1}{2}}$ من $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}) + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (6 y^{\frac{2}{3}}) = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 6 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.6.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 3 \cdot 2 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 3 \cdot 2 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.7

اجمع $2$ و $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{2 y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + \frac{2 y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.2.1.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y' = 1 (6 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اضرب $6 y^{\frac{2}{3}}$ في $1$ .

$3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y' = 6 y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 6.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y' y^{\frac{1}{6}} + 2 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y' y^{\frac{1}{6}}$ .

$y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + 2 y' = 6 y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 6.4.1.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 y'$ .

$y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + y' \cdot 2 = 6 y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 6.4.1.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{\frac{1}{6}}) + y' \cdot 2$ .

$y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 6.4.2

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$ على $3 y^{\frac{1}{6}} + 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2) = 6 y^{\frac{2}{3}}$ على $3 y^{\frac{1}{6}} + 2$ .

$\frac{y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2)}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

خطوة 6.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y^{\frac{1}{6}} + 2)}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

خطوة 6.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{1}{6}} + 2}$