حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3 + 5 x - 8 \sqrt{x}}{x}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}}{x}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}}{x})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}] - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2.6

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{x (5 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2.7

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (5 - 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (5 - 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.9

اجمع $- 8$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (5 + \frac{- 8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.10

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (5 + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.11

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$\frac{x (5 + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (5 + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (5 + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x (5 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x (5 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (5 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 4.15

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x (5 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.16.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 5 + x (- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 5 + x (- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.16.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.16.3.1.1

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$\frac{5 \cdot x + x (- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{5 x - x \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.3

اجمع $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{5 x - \frac{4 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.4

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{5 x - (4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.5

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.16.3.1.5.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 x - (4 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.5.2

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.16.3.1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{5 x - (4 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{5 x - (4 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.5.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{5 x - (4 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{5 x - (4 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.5.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{5 x - (4 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.7

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.8

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 5 x - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.1.9

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 5 x + 8 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 5 x + 8 x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.16.3.2.1

اطرح $5 x$ من $5 x$ .

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 0 + 8 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.2.2

أضف $- 4 x^{\frac{1}{2}} - 3$ و $0$ .

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 8 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

خطوة 4.16.3.3

أضف $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ و $8 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$