حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\frac{6 x + 9}{6 x - 9})}^{4}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{6 x + 9}{6 x - 9})}^{4})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احذِف العامل المشترك لـ $6 x + 9$ و $6 x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x) + 9}{6 x - 9})}^{4}]$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x) + 3 (3)}{6 x - 9})}^{4}]$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{6 x - 9})}^{4}]$

خطوة 3.1.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) - 9})}^{4}]$

خطوة 3.1.4.2

أخرِج العامل $3$ من $- 9$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) + 3 (- 3)})}^{4}]$

خطوة 3.1.4.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (2 x) + 3 (- 3)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{4}]$

خطوة 3.1.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{4}]$

خطوة 3.1.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{4}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x$ .

$4 {(\frac{3 (2 x) + 9}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

خطوة 3.2.3.2

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$4 {(\frac{3 (2 x) + 3 (3)}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

خطوة 3.2.3.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

خطوة 3.2.3.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

خطوة 3.2.3.4.2

أخرِج العامل $3$ من $- 9$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) + 3 (- 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

خطوة 3.2.3.4.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (2 x) + 3 (- 3)$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

خطوة 3.2.3.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

خطوة 3.2.3.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 x + 3$ و $g (x) = 2 x - 3$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.4

اضرب $2$ في $1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $2 x - 3$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 \cdot (2 x - 3) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.10

اضرب $2$ في $1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.11

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 + 0)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.12.1

أضف $2$ و $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) \cdot 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.12.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.12.3

اجمع $\frac{2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)}{{(2 x - 3)}^{2}}$ و $4$ .

$\frac{(2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)) \cdot 4}{{(2 x - 3)}^{2}} {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3}$

خطوة 3.4.12.4

انقُل $4$ إلى يسار $2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)$ .

$\frac{4 \cdot (2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

$\frac{4 (2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (2 (2 x)) + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 (4 x) + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{16 x + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$\frac{16 x + 4 \cdot - 6 + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.4

اضرب $4$ في $- 6$ .

$\frac{16 x - 24 + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.5

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{16 x - 24 + 4 (- 4 x) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.6

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.7

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x + 4 \cdot - 6}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.8

اضرب $4$ في $- 6$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.9

اطرح $16 x$ من $16 x$ .

$\frac{0 - 24 - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.10

اطرح $24$ من $0$ .

$\frac{- 24 - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.11

اطرح $24$ من $- 24$ .

$\frac{- 48}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{48}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.5.5.13

اضرب $\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$ في $\frac{48}{{(2 x - 3)}^{2}}$ .

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.5.14

اضرب ${(2 x - 3)}^{3}$ في ${(2 x - 3)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.14.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{3 + 2}}$

خطوة 3.5.5.14.2

أضف $3$ و $2$ .

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{5}}$

خطوة 3.5.5.15

انقُل $48$ إلى يسار ${(2 x + 3)}^{3}$ .

$- \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$