حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \ln (y) + y \ln (x) = 2$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y \ln (x)) = \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \ln (y) + y \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

خطوة 2.2.5

اجمع $\frac{1}{y}$ و $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

خطوة 2.2.6

اجمع $x$ و $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

خطوة 2.2.7

اضرب $\ln (y)$ في $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) y'$

خطوة 2.3.4

اجمع $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} + \ln (x) y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x}$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كل حد في $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ في $y x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب كل حد في $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ في $y x$ .

$\ln (x) y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (x) y' y x + x y' x + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (x) y' y x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.6.1

أخرِج العامل $x$ من $y x$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y \cdot y = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.7

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.8

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y^{1} = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1 + 1} = 0 (y x)$

خطوة 5.1.2.1.10

أضف $1$ و $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 (y x)$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

اضرب $0 (y x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

اضرب $y$ في $0$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 x$

خطوة 5.1.3.1.2

اضرب $0$ في $x$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (x) y' y x + \ln (y) y x = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x) y' y x + \ln (y) y x$ .

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

خطوة 5.4

أضف $- y' x^{2} - y^{2}$ و $0$ .

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2}$

خطوة 5.5

أضف $y' x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) + y' x^{2} = - y^{2}$

خطوة 5.6

اطرح $y x \ln (y)$ من كلا المتعادلين.

$y' y x \ln (x) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

خطوة 5.7

أخرِج العامل $y' x$ من $y' y x \ln (x) + y' x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أخرِج العامل $y' x$ من $y' y x \ln (x)$ .

$y' x (y \ln (x)) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

خطوة 5.7.2

أخرِج العامل $y' x$ من $y' x^{2}$ .

$y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x = - y^{2} - y x \ln (y)$

خطوة 5.7.3

أخرِج العامل $y' x$ من $y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x$ .

$y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$

خطوة 5.8

اقسِم كل حد في $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ على $x (y \ln (x) + x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اقسِم كل حد في $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ على $x (y \ln (x) + x)$ .

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y \ln (x) + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

خطوة 5.8.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

خطوة 5.8.3.2

لكتابة $- \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 5.8.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x (y \ln (x) + x)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.3.1

اضرب $\frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(y \ln (x) + x) x}$

خطوة 5.8.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(y \ln (x) + x) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y^{2} - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.5.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2} - y \ln (y) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.5.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.5.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- y \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.5.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.5.2

أعِد كتابة $- 1 \ln (y)$ بالصيغة $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (- y - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (\ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - (\ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.6.4.1

أعِد كتابة $- (y + \ln (y) x)$ بالصيغة $- 1 (y + \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 5.8.3.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$