حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} (x - y) = y^{2} (x + y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} (x - y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (x + y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) (2 x)$

خطوة 2.5

انقُل $2$ إلى يسار $x - y$ .

$x^{2} (1 - y') + 2 \cdot (x - y) x$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 (x - y) x$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + (2 x + 2 (- y)) x$

خطوة 2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

خطوة 2.6.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

خطوة 2.6.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x) + 2 (- y) x$

خطوة 2.6.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- y) x$

خطوة 2.6.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{1 + 1} + 2 (- y) x$

خطوة 2.6.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} + 2 (- y) x$

خطوة 2.6.4.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} - 2 y x$

خطوة 2.6.4.7

أضف $x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- y') - 2 y x$

خطوة 2.6.5

أعِد ترتيب الحدود.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y^{2}$ و $g (x) = x + y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $x + y$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 \cdot (x + y) y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 (x + y) y y'$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 (x + y) y y'$

خطوة 3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x + 2 y) y y'$

خطوة 3.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x y + 2 y \cdot y) y'$

خطوة 3.7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

خطوة 3.7.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.1

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

خطوة 3.7.5.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y) y'$

خطوة 3.7.5.3

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y^{1}) y'$

خطوة 3.7.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{1 + 1} y'$

خطوة 3.7.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{2} y'$

خطوة 3.7.5.6

أضف $y^{2} y'$ و $2 y^{2} y'$ .

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y = y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $y'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' = 3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

خطوة 5.2

أضف $x^{2} y'$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y$

خطوة 5.3

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 x y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $x^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

خطوة 5.4.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

خطوة 5.4.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2})$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ على $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ على $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{(2) x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.3.1.2

أعِد ترتيب $- y^{2}$ و $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.3.1.3

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.3.1.4

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $1$ زائد $- 3$

$y' = \frac{3 x^{2} + (1 - 3) (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{3 x^{2} + 1 (x y) - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.3.1.6

اضرب $x y$ في $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.3.1.7

انقُل الأقواس.

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$y' = \frac{(3 x^{2} + x y) - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$y' = \frac{x (3 x + y) - y (3 x + y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 5.5.3.3.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 x + y$ .

$y' = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$