حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x})$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = 9 x^{2} - 18 x + 18$ و $g (y) = e^{x}$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) \frac{d}{d y} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{x} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} - 18 x + 18$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

خطوة 3.4.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $9 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

خطوة 3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

خطوة 3.6

اضرب $2$ في $9$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

خطوة 3.8

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 18 x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 18 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [18])$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + \frac{d}{d y} [18])$

خطوة 3.10

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $18$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + 0)$

خطوة 3.11

أضف $18 x x' - 18 x'$ و $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

خطوة 3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(9 x^{2} e^{x} - 18 x e^{x} + 18 e^{x}) x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

خطوة 3.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

خطوة 3.12.3

طبّق خاصية التوزيع.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x') + e^{x} (- 18 x')$

خطوة 3.12.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.1

أضف $- 18 x e^{x} x'$ و $e^{x} (18 x x')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.1.1

انقُل $e^{x}$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 x e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

خطوة 3.12.4.1.2

أضف $- 18 x e^{x} x'$ و $18 x e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + 0 + e^{x} (- 18 x')$

خطوة 3.12.4.2

أضف $9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x'$ و $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

خطوة 3.12.4.3

أضف $18 e^{x} x'$ و $e^{x} (- 18 x')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.3.1

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $- 18$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 \cdot e^{x} x'$

خطوة 3.12.4.3.2

اطرح $18 \cdot e^{x} x'$ من $18 e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 0$

خطوة 3.12.4.4

أضف $9 x^{2} e^{x} x'$ و $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x'$

خطوة 3.12.5

أعِد ترتيب عوامل $9 x^{2} e^{x} x'$ .

$9 e^{x} x^{2} x'$

خطوة 3.12.6

أعِد ترتيب العوامل في $9 e^{x} x^{2} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = 9 x^{2} e^{x} x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ .

$9 x^{2} e^{x} x' = 1$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ على $9 x^{2} e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ على $9 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

خطوة 5.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

خطوة 5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

خطوة 5.2.2.3.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$