حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x y) = 1 + \cos (y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (\sin (x y)) = \frac{d}{d y} (1 + \cos (y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \sin (y)$ و $g (y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x$ و $g (y) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\cos (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$\cos (x y) (x + y x')$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x y) x + \cos (x y) (y x')$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$x \cos (x y) + y \cos (x y) x'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cos (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

خطوة 3.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

خطوة 3.2

مشتق $\cos (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \sin (y)$ .

$0 - \sin (y)$

خطوة 3.3

اطرح $\sin (y)$ من $0$ .

$- \sin (y)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x \cos (x y) + y \cos (x y) x' = - \sin (y)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $x \cos (x y) + y \cos (x y) x'$ .

$x \cos (x y) + y x' \cos (x y) = - \sin (y)$

خطوة 5.2

اطرح $x \cos (x y)$ من كلا المتعادلين.

$y x' \cos (x y) = - \sin (y) - x \cos (x y)$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $y x' \cos (x y) = - \sin (y) - x \cos (x y)$ على $y \cos (x y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $y x' \cos (x y) = - \sin (y) - x \cos (x y)$ على $y \cos (x y)$ .

$\frac{y x' \cos (x y)}{y \cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x' \cos (x y)}{y \cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

افصِل الكسور.

$x' = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة $\frac{\sin (y)}{\cos (x y)}$ في صورة حاصل ضرب.

$x' = \frac{- 1}{y} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x y)}) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.3

اكتب $\sin (y)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$x' = \frac{- 1}{y} (\frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x y)}) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.4.1

اقسِم $\sin (y)$ على $1$ .

$x' = \frac{- 1}{y} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x y)}) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.4.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x y)}$ إلى $\sec (x y)$ .

$x' = \frac{- 1}{y} (\sin (y) \sec (x y)) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{1}{y} (\sin (y) \sec (x y)) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.6

اضرب $- \frac{1}{y} (\sin (y) \sec (x y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.6.1

اجمع $\sin (y)$ و $\frac{1}{y}$ .

$x' = - \frac{\sin (y)}{y} \sec (x y) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.6.2

اجمع $\sec (x y)$ و $\frac{\sin (y)}{y}$ .

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} + \frac{- x}{y}$

خطوة 5.3.3.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} - \frac{x}{y}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} - \frac{x}{y}$