حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(y + x)}^{2} = \ln (y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(y + x)}^{2}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(y + x)}^{2}$ بالصيغة $(y + x) (y + x)$ .

$\frac{d}{d x} [(y + x) (y + x)]$

خطوة 2.2

وسّع $(y + x) (y + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [y (y + x) + x (y + x)]$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x (y + x)]$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x y + x \cdot x]$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x \cdot x]$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أضف $y x$ و $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + x y + x y + x^{2}]$

خطوة 2.3.2.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x y + x^{2}]$

خطوة 2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 2 x y + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 y y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.9

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.11

اضرب $y$ في $1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + 2 x$

خطوة 2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y y' + 2 (x y') + 2 y + 2 x$

خطوة 2.13.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 y y' + 2 x y' + 2 y + 2 x$

خطوة 2.13.3

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{y}$ و $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y = \frac{y'}{y}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y y' y + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1.1

انقُل $y$ .

$2 (y \cdot y) y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.2.1

انقُل $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 (y \cdot y) = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.3

انقُل $y^{2}$ .

$2 y' y^{2} + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.4

انقُل $x$ .

$2 y' y^{2} + 2 y' x y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.5

أعِد ترتيب $2 y' y^{2}$ و $2 y' x y$ .

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = y'$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $y'$ من كلا المتعادلين.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} - y' = 0$

خطوة 5.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 y^{2} - y' = - 2 x y$

خطوة 5.3.2.2

اطرح $2 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $2 y' x y + 2 y' y^{2} - y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $2 y' x y$ .

$y' (2 x y) + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 y' y^{2}$ .

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $- y'$ .

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

خطوة 5.3.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 x y) + y' (2 y^{2})$ .

$y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

خطوة 5.3.3.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$

خطوة 5.3.4

اقسِم كل حد في $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ على $2 x y + 2 y^{2} - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اقسِم كل حد في $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ على $2 x y + 2 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 5.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x y + 2 y^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 5.3.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 5.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 2 x y - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 5.3.4.3.2

أخرِج العامل $2 y$ من $- 2 x y - 2 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.2.1

أخرِج العامل $2 y$ من $- 2 x y$ .

$y' = \frac{2 y (- x) - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 5.3.4.3.2.2

أخرِج العامل $2 y$ من $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y (- x) + 2 y (- y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 5.3.4.3.2.3

أخرِج العامل $2 y$ من $2 y (- x) + 2 y (- y)$ .

$y' = \frac{2 y (- x - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 5.3.4.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{2 y (- (x) - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 5.3.4.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$y' = \frac{2 y (- (x) - (y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 5.3.4.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (y)$ .

$y' = \frac{2 y (- (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 5.3.4.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.6.1

أعِد كتابة $- (x + y)$ بالصيغة $- 1 (x + y)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 5.3.4.3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$