حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(3)}^{n - 1}}{8^{n}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{\frac{3^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}}}{\frac{3^{n - 1}}{8^{n}}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$r = \frac{3^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}} \cdot \frac{8^{n}}{3^{n - 1}}$

خطوة 2.2.2

اجمع.

$r = \frac{3^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1} \cdot 3^{n - 1}}$

خطوة 2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $3^{n + 1 - 1}$ و $3^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $3^{n - 1}$ من $3^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}$ .

$r = \frac{3^{n - 1} (3^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{8^{n + 1} \cdot 3^{n - 1}}$

خطوة 2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

أخرِج العامل $3^{n - 1}$ من $8^{n + 1} \cdot 3^{n - 1}$ .

$r = \frac{3^{n - 1} (3^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{3^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{3^{n - 1} (3^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{3^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

خطوة 2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{3^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1}}$

خطوة 2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $8^{n}$ و $8^{n + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أخرِج العامل $8^{n + 1}$ من $3^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}$ .

$r = \frac{8^{n + 1} (3^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1}}$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{8^{n + 1} (3^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{8^{n + 1} (3^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{3^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}}{1}$

خطوة 2.2.4.2.4

اقسِم $3^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$ على $1$ .

$r = 3^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

خطوة 2.2.5

أضف $n$ و $0$ .

$r = 3^{n - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

خطوة 2.2.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 3^{n - n - - 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

خطوة 2.2.6.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = 3^{n - n + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

خطوة 2.2.7

اطرح $n$ من $n$ .

$r = 3^{0 + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

خطوة 2.2.8

أضف $0$ و $1$ .

$r = 3^{1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

خطوة 2.2.9

احسِب قيمة الأُس.

$r = 3 \cdot 8^{n - (n + 1)}$

خطوة 2.2.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 3 \cdot 8^{n - n - 1 \cdot 1}$

خطوة 2.2.10.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$r = 3 \cdot 8^{n - n - 1}$

خطوة 2.2.11

اطرح $n$ من $n$ .

$r = 3 \cdot 8^{0 - 1}$

خطوة 2.2.12

اطرح $1$ من $0$ .

$r = 3 \cdot 8^{- 1}$

خطوة 2.2.13

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 3 \cdot \frac{1}{8}$

خطوة 2.2.14

اجمع $3$ و $\frac{1}{8}$ .

$r = \frac{3}{8}$

خطوة 3

بما أن $| r | < 1$ ، إذن السلسلة متقاربة.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ في $\frac{{(3)}^{n - 1}}{8^{n}}$ .

$a = \frac{3^{1 - 1}}{8^{1}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = \frac{3^{0}}{8^{1}}$

خطوة 4.2.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{8^{1}}$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة الأُس.

$a = \frac{1}{8}$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{3}{8}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{3}{8}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8}{8} - \frac{3}{8}}$

خطوة 6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8 - 3}{8}}$

خطوة 6.2.3

اطرح $3$ من $8$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{5}{8}}$

خطوة 6.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{8} (1 (\frac{8}{5}))$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{8}{5}$ في $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5}$

خطوة 6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5}$

خطوة 6.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{5}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{5}$

الصيغة العشرية:

$0.2$