حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{11}{12} {(- \frac{2}{5})}^{m}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{m + 1}}{a_{m}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{m}$ و $a_{m + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{\frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{m + 1}}{\frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{m}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\frac{11}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{\frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{m + 1}}{\frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{m}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(- \frac{2}{5})}^{m + 1}}{{(- \frac{2}{5})}^{m}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(- \frac{2}{5})}^{m + 1}$ و ${(- \frac{2}{5})}^{m}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(- \frac{2}{5})}^{m}$ من ${(- \frac{2}{5})}^{m + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{2}{5})}^{m} (- \frac{2}{5})}{{(- \frac{2}{5})}^{m}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{2}{5})}^{m} (- \frac{2}{5})}{{(- \frac{2}{5})}^{m} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(- \frac{2}{5})}^{m} (- \frac{2}{5})}{{(- \frac{2}{5})}^{m} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{- \frac{2}{5}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم $- \frac{2}{5}$ على $1$ .

$r = - \frac{2}{5}$

خطوة 3

بما أن $| r | < 1$ ، إذن السلسلة متقاربة.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $m$ في $\frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{m}$ .

$a = \frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{1}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط.

$a = \frac{11}{12} \cdot (- \frac{2}{5})$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{5}$ إلى بسط الكسر.

$a = \frac{11}{12} \cdot \frac{- 2}{5}$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$a = \frac{11}{2 (6)} \cdot \frac{- 2}{5}$

خطوة 4.2.2.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$a = \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{5}$

خطوة 4.2.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$a = \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{5}$

خطوة 4.2.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$a = \frac{11}{6} \cdot \frac{- 1}{5}$

خطوة 4.2.3

اضرب $\frac{11}{6}$ في $\frac{- 1}{5}$ .

$a = \frac{11 \cdot - 1}{6 \cdot 5}$

خطوة 4.2.4

اضرب $11$ في $- 1$ .

$a = \frac{- 11}{6 \cdot 5}$

خطوة 4.2.5

اضرب $6$ في $5$ .

$a = \frac{- 11}{30}$

خطوة 4.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$a = - \frac{11}{30}$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{- \frac{11}{30}}{1 - - \frac{2}{5}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{2}{5}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- - \frac{2}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{2}{5})}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $\frac{2}{5}$ في $1$ .

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2}{5}}$

خطوة 6.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{\frac{5}{5} + \frac{2}{5}}$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{\frac{5 + 2}{5}}$

خطوة 6.2.4

أضف $5$ و $2$ .

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{\frac{7}{5}}$

خطوة 6.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{11}{30} (1 (\frac{5}{7}))$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{5}{7}$ في $1$ .

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{5}{7}$

خطوة 6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{11}{30}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 11}{30} \cdot \frac{5}{7}$

خطوة 6.5.2

أخرِج العامل $5$ من $30$ .

$\frac{- 11}{5 (6)} \cdot \frac{5}{7}$

خطوة 6.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 11}{5 \cdot 6} \cdot \frac{5}{7}$

خطوة 6.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 11}{6} \cdot \frac{1}{7}$

خطوة 6.6

اضرب $\frac{- 11}{6}$ في $\frac{1}{7}$ .

$\frac{- 11}{6 \cdot 7}$

خطوة 6.7

اضرب $6$ في $7$ .

$\frac{- 11}{42}$

خطوة 6.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{11}{42}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{11}{42}$

الصيغة العشرية:

$- 0.2\overline{619047}$