حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{x = 1}^{\infty} 3 {(\frac{4}{5})}^{x}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{x}$ و $a_{x + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{3 {(\frac{4}{5})}^{x + 1}}{3 {(\frac{4}{5})}^{x}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{3 {(\frac{4}{5})}^{x + 1}}{3 {(\frac{4}{5})}^{x}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{4}{5})}^{x + 1}}{{(\frac{4}{5})}^{x}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{4}{5})}^{x + 1}$ و ${(\frac{4}{5})}^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{4}{5})}^{x}$ من ${(\frac{4}{5})}^{x + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{4}{5})}^{x} \frac{4}{5}}{{(\frac{4}{5})}^{x}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{4}{5})}^{x} \frac{4}{5}}{{(\frac{4}{5})}^{x} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{4}{5})}^{x} \frac{4}{5}}{{(\frac{4}{5})}^{x} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{\frac{4}{5}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم $\frac{4}{5}$ على $1$ .

$r = \frac{4}{5}$

خطوة 3

بما أن $| r | < 1$ ، إذن السلسلة متقاربة.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $x$ في $3 {(\frac{4}{5})}^{x}$ .

$a = 3 {(\frac{4}{5})}^{1}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط.

$a = 3 (\frac{4}{5})$

خطوة 4.2.2

اضرب $3 (\frac{4}{5})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اجمع $3$ و $\frac{4}{5}$ .

$a = \frac{3 \cdot 4}{5}$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $3$ في $4$ .

$a = \frac{12}{5}$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{\frac{12}{5}}{1 - \frac{4}{5}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{12}{5} \cdot \frac{1}{1 - \frac{4}{5}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{12}{5} \cdot \frac{1}{\frac{5}{5} - \frac{4}{5}}$

خطوة 6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{12}{5} \cdot \frac{1}{\frac{5 - 4}{5}}$

خطوة 6.2.3

اطرح $4$ من $5$ .

$\frac{12}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}}$

خطوة 6.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{12}{5} (1 \cdot 5)$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $5$ من $1 \cdot 5$ .

$\frac{12}{5} (5 \cdot 1)$

خطوة 6.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12}{5} (5 \cdot 1)$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$12$