حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = t \ln^{2} (2 t)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = \ln^{2} (2 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (2 t)] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = \ln (2 t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (2 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (2 t)$ .

$t (2 \ln (2 t) \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 t$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 t$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{1}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{2 t}$ و $2$ .

$t (\frac{2}{2 t} \ln (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $\frac{2}{2 t}$ و $\ln (2 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (2 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$t (\frac{2 \ln (2 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$t (\frac{\ln (2 t)}{t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{\ln (2 t)}{t}$ و $t$ .

$\frac{\ln (2 t) t}{t} \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (2 t) t}{t} \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.2.4.2

اقسِم $\ln (2 t)$ على $1$ .

$\ln (2 t) \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\ln (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\ln (2 t) (2 \cdot 1) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\ln (2 t) \cdot 2 + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (2 t)$ .

$2 \cdot \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t) \cdot 1$

خطوة 4.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $\ln^{2} (2 t)$ في $1$ .

$2 \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t)$

خطوة 4.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln^{2} (2 t) + 2 \ln (2 t)$