حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(3 t - 10)}^{9}}{t + 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = {(3 t - 10)}^{9}$ و $g (t) = t + 3$ .

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [{(3 t - 10)}^{9}] - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{9}$ و $g (t) = 3 t - 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 t - 10$ .

$\frac{(t + 3) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [3 t - 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 9$ .

$\frac{(t + 3) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [3 t - 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 t - 10$ .

$\frac{(t + 3) (9 {(3 t - 10)}^{8} \frac{d}{d t} [3 t - 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $9$ إلى يسار $t + 3$ .

$\frac{9 \cdot (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} \frac{d}{d t} [3 t - 10] - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 t - 10$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 10]$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.6

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 10$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 + 0) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} \cdot 3 - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.7.2

اضرب $3$ في $9$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} (1 + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.10

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} (1 + 0)}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 3.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9}}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(27 t + 27 \cdot 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9}}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل ${(3 t - 10)}^{8}$ من $(27 t + 27 \cdot 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أخرِج العامل ${(3 t - 10)}^{8}$ من $(27 t + 27 \cdot 3) {(3 t - 10)}^{8}$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3) - {(3 t - 10)}^{9}}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2

أخرِج العامل ${(3 t - 10)}^{8}$ من $- {(3 t - 10)}^{9}$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3) + {(3 t - 10)}^{8} (- (3 t - 10))}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3

أخرِج العامل ${(3 t - 10)}^{8}$ من ${(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3) + {(3 t - 10)}^{8} (- (3 t - 10))$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3 - (3 t - 10))}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

اضرب $27$ في $3$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - (3 t - 10))}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - (3 t) - - 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - 3 t - - 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.5

اضرب $- 1$ في $- 10$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - 3 t + 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.6

اطرح $3 t$ من $27 t$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (24 t + 81 + 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.7

أضف $81$ و $10$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (24 t + 91)}{{(t + 3)}^{2}}$