حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 1) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + 0) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.7

أضف $2 x - 4$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.11.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 (x^{2} - 4 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) + (- 2 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.1

وسّع $(x^{2} + 1) (2 x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 4) + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2.3

انقُل $- 4$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2.4

اضرب $2 x$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.2.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.3.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.4.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.5

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.1.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 0 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.2.2

أضف $- 4 x^{2} + 2 x - 4$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.2.3

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.2.4

أضف $- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3.3

أضف $- 4 x^{2}$ و $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2} - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.4.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) + 4 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (x^{2}) + 4 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

خطوة 2.2.3

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.4.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.8.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.8.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.8.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.8.4.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.5.8.4.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.7.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.7.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.7.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.7.5.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.5.2.1

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.7.5.2.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

خطوة 2.2.7.5.3

اجمع $4$ و $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.1

أعِد كتابة ${(x^{2} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.2

وسّع $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.3.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.3.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.3.2

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.7.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.7.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.7.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.7.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.7.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.7.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.7.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.7.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.7.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.7.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.7.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.7.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5}) + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.9.1

اضرب $2$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.9.2

اضرب $4$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.9.3

اضرب $2$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.10

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.11

وسّع $(- 4 x - 4) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.12.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.12.1.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.12.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.12.1.2

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.12.1.3

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.12.2

اطرح $4 x$ من $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.12.3

أضف $- 4 x^{2}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.13

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.13.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.13.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.13.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.13.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.13.1.2

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.13.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.14

وسّع $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.14.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.15

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.15.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.15.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.15.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.15.1.1.3

أضف $3$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.15.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.15.1.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.15.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.4.1.15.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.15.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.15.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.15.2

أضف $- 4 x^{3}$ و $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.15.3

أضف $- 4 x^{5}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.16

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5}) + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.17

اضرب $- 4$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.1.18

اضرب $4$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.2

اطرح $16 x^{5}$ من $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.4.3

أضف $8 x$ و $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.5.1

أخرِج العامل $8 x$ من $- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.5.1.1

أخرِج العامل $8 x$ من $- 8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.1.2

أخرِج العامل $8 x$ من $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.1.3

أخرِج العامل $8 x$ من $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.1.4

أخرِج العامل $8 x$ من $8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.1.5

أخرِج العامل $8 x$ من $8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.3

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.4

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.5.4.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ ومجموعهما $b = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.5.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.4.1.2

أعِد كتابة $2$ في صورة $- 1$ زائد $3$

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.5.4.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$f'' (x) = \frac{8 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.4.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.5.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.6

احذِف العامل المشترك لـ $- x^{2} - 1$ و ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.6.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.6.4

أعِد كتابة $- (x^{2} + 1)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.6.5

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.2.8.6.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.6.6.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.8.6.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.8.6.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.8.7

اضرب $- 1$ في $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.2.8.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$8 x (x^{2} - 3) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 3.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 3$

خطوة 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 3.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $8 x (x^{2} - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 1}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0 + 1}{0^{2} + 1}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 1}{0^{2} + 1}$

خطوة 4.1.2.1.3

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 1}{0^{2} + 1}$

خطوة 4.1.2.1.4

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = \frac{1}{0^{2} + 1}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{1}{0 + 1}$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

خطوة 4.1.2.3

اقسِم $1$ على $1$ .

$f (0) = 1$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ هي $(0, 1)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 1)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $\sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{3}$ في العبارة.

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 4.3.2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 4.3.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 4.3.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 4.3.2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 4.3.2.1.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 4.3.2.1.2

أضف $3$ و $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

خطوة 4.3.2.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

خطوة 4.3.2.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

خطوة 4.3.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

خطوة 4.3.2.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

خطوة 4.3.2.2.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

خطوة 4.3.2.2.2

أضف $3$ و $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4 - 4 \sqrt{3}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 - 4 \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.3.2.3.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.3.2.3.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.3.2.3.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

خطوة 4.3.2.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.3.2.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{1}$

خطوة 4.3.2.3.4.4

اقسِم $1 - \sqrt{3}$ على $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3}$

خطوة 4.3.2.4

الإجابة النهائية هي $1 - \sqrt{3}$ .

$1 - \sqrt{3}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ هي $(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $- \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- \sqrt{3})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.1.3

اضرب ${\sqrt{3}}^{2}$ في $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.1.5

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 + 4 \sqrt{3} + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.1.6

أضف $3$ و $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.2.3

اضرب ${\sqrt{3}}^{2}$ في $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

خطوة 4.5.2.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

خطوة 4.5.2.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

خطوة 4.5.2.2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

خطوة 4.5.2.2.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

خطوة 4.5.2.2.5

أضف $3$ و $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4 + 4 \sqrt{3}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{3}}{4}$

خطوة 4.5.2.3.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (\sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.5.2.3.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (\sqrt{3})$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4}$

خطوة 4.5.2.3.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 (1)}$

خطوة 4.5.2.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.5.2.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{1}$

خطوة 4.5.2.3.4.4

اقسِم $1 + \sqrt{3}$ على $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3}$

خطوة 4.5.2.4

الإجابة النهائية هي $1 + \sqrt{3}$ .

$1 + \sqrt{3}$

خطوة 4.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ هي $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

خطوة 4.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}), (- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.8320508$ في العبارة.

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{8 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $8$ في $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 14.65640646 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 14.65640646$ في ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 1.8320508$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $3.35641016$ و $1$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $4.35641016$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{82.67730033}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اقسِم $- 5.22369219$ على $82.67730033$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 0.06318169$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $0.06318169$ .

$0.06318169$

خطوة 6.3

في $- 1.8320508$ ، المشتق الثاني هو $0.06318169$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \sqrt{3})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \sqrt{3}, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.8660254$ في العبارة.

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{8 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $8$ في $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{- 6.92820323 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 6.92820323$ في ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $- 0.8660254$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0.75$ و $1$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{1.75}^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $1.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{5.359375}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اقسِم $15.58845726$ على $5.359375$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 1 \cdot 2.90863342$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $- 1$ في $2.90863342$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 2.90863342$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2.90863342$ .

$- 2.90863342$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $- 0.8660254$ يساوي $- 2.90863342$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \sqrt{3}, 0)$

تناقص خلال $(- \sqrt{3}, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.8660254$ في العبارة.

$f'' (0.8660254) = - \frac{8 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $8$ في $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{6.92820323 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $6.92820323$ في ${0.8660254}^{2} - 3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $0.8660254$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $0.75$ و $1$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{1.75}^{3}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $1.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{5.359375}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اقسِم $- 15.58845726$ على $5.359375$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

خطوة 8.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 2.90863342$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $2.90863342$ .

$2.90863342$

خطوة 8.3

في $0.8660254$ ، المشتق الثاني هو $2.90863342$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \sqrt{3})$ .

تزايد خلال $(0, \sqrt{3})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.8320508$ في العبارة.

$f'' (1.8320508) = - \frac{8 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اضرب $8$ في $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{14.65640646 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $14.65640646$ في ${1.8320508}^{2} - 3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ارفع $1.8320508$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.2.2

أضف $3.35641016$ و $1$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

خطوة 9.2.2.3

ارفع $4.35641016$ إلى القوة $3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{82.67730033}$

خطوة 9.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اقسِم $5.22369219$ على $82.67730033$ .

$f'' (1.8320508) = - 1 \cdot 0.06318169$

خطوة 9.2.3.2

اضرب $- 1$ في $0.06318169$ .

$f'' (1.8320508) = - 0.06318169$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.06318169$ .

$- 0.06318169$

خطوة 9.3

المشتق الثاني عند $1.8320508$ يساوي $- 0.06318169$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\sqrt{3}, \infty)$

تناقص خلال $(\sqrt{3}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ .

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

خطوة 11