حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 12}{x - 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 12$ و $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 4) x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.1.2

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.1.3

اضرب $- 1$ في $- 12$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

حلّل $x^{2} - 8 x + 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $12$ ومجموعهما $- 8$ .

$- 6, - 2$

خطوة 1.1.3.5.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f' (x) = \frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$(x - 6) (x - 2) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 2.3.2.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 6) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 6, 2$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $6, 2$ .

$6, 2$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 4)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 4.2.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \frac{((1) - 6) ((1) - 2)}{{((1) - 4)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اطرح $6$ من $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5 (1 - 2)}{{(1 - 4)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5 \cdot - 1}{{(1 - 4)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $4$ من $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 3)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (1) = \frac{- 5 \cdot - 1}{9}$

خطوة 6.2.3

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$f' (1) = \frac{5}{9}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{9}$ .

$\frac{5}{9}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 1$ هو $\frac{5}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 2)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(2, 4)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = \frac{((3) - 6) ((3) - 2)}{{((3) - 4)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اطرح $6$ من $3$ .

$f' (3) = \frac{- 3 (3 - 2)}{{(3 - 4)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اطرح $2$ من $3$ .

$f' (3) = \frac{- 3 \cdot 1}{{(3 - 4)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $4$ من $3$ .

$f' (3) = \frac{- 3 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = \frac{- 3 \cdot 1}{1}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (3) = \frac{- 3}{1}$

خطوة 7.2.3.2

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$f' (3) = - 3$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 3$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(2, 4)$ .

تناقص خلال $(2, 4)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(4, 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = \frac{((5) - 6) ((5) - 2)}{{((5) - 4)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اطرح $6$ من $5$ .

$f' (5) = \frac{- 1 (5 - 2)}{{(5 - 4)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اطرح $2$ من $5$ .

$f' (5) = \frac{- 1 \cdot 3}{{(5 - 4)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اطرح $4$ من $5$ .

$f' (5) = \frac{- 1 \cdot 3}{1^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (5) = \frac{- 1 \cdot 3}{1}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (5) = \frac{- 3}{1}$

خطوة 8.2.3.2

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$f' (5) = - 3$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 5$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(4, 6)$ .

تناقص خلال $(4, 6)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f' (7) = \frac{((7) - 6) ((7) - 2)}{{((7) - 4)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اطرح $6$ من $7$ .

$f' (7) = \frac{1 (7 - 2)}{{(7 - 4)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $7 - 2$ في $1$ .

$f' (7) = \frac{7 - 2}{{(7 - 4)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.3

اطرح $2$ من $7$ .

$f' (7) = \frac{5}{{(7 - 4)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اطرح $4$ من $7$ .

$f' (7) = \frac{5}{3^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (7) = \frac{5}{9}$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{9}$ .

$\frac{5}{9}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 7$ هو $\frac{5}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(6, \infty)$ .

تزايد خلال $(6, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 2), (6, \infty)$

تناقص خلال: $(2, 4), (4, 6)$

خطوة 11