حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x - 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x^{2}}{x - 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 \frac{(x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 3$ .

$4 \frac{2 \cdot (x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6.3

اجمع $4$ و $\frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 (x - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.4.1.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.4.1.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.4.1.4

اضرب $- 6$ في $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.4.1.5

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x - 4 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.4.2

اطرح $4 x^{2}$ من $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.5

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{2} - 24 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.5.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.5.2

أخرِج العامل $4 x$ من $- 24 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (- 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4.5.3

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x) + 4 x (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x (x - 6) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (x - 6) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 6$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 6$ .

$0, 6$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 3)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 4.2.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1) ((- 1) - 6)}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 1 - 3)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $3$ من $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 4)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{16}$

خطوة 6.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اطرح $6$ من $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 \cdot - 7}{16}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $- 4$ في $- 7$ .

$f' (- 1) = \frac{28}{16}$

خطوة 6.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $28$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.3.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$f' (- 1) = \frac{4 (7)}{16}$

خطوة 6.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 1) = \frac{7}{4}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $\frac{7}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 3)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (\frac{3}{2}) ((\frac{3}{2}) - 6)}{{((\frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $4$ و $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.4.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 6}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4.2

اطرح $6$ من $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.6

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.7

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 7.2.2.9

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

خطوة 7.2.2.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{4})}$

خطوة 7.2.2.11

اضرب $\frac{9}{4}$ في $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{12}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اقسِم $12$ على $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4.2

لكتابة $- 6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4.3

اجمع $- 6$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.5.1

اضرب $- 6$ في $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4.5.2

اطرح $12$ من $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{- 9}{2})}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 \cdot (- 1 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.7.1

أخرِج السالب.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (6 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4.7.2

اجمع $6$ و $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{6 \cdot 9}{2}}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4.7.3

اضرب $6$ في $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4.8

اقسِم $54$ على $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.5

اضرب $- 1$ في $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{3}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

خطوة 7.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.7.1

أخرِج العامل $9$ من $- 27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

خطوة 7.2.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{3}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

خطوة 7.2.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 4$

خطوة 7.2.8

اضرب $- 3$ في $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 12$

خطوة 7.2.9

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

خطوة 7.3

المشتق في $x = \frac{3}{2}$ هو $- 12$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 3)$ .

تناقص خلال $(0, 3)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(3, 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{9}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{4 (\frac{9}{2}) ((\frac{9}{2}) - 6)}{{((\frac{9}{2}) - 3)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $4$ و $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.4.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 6}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4.2

اطرح $6$ من $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.6

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.3

اضرب $4$ في $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{36}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

اقسِم $36$ على $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.4.2

لكتابة $- 6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.4.3

اجمع $- 6$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.5.1

اضرب $- 6$ في $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.4.5.2

اطرح $12$ من $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{- 3}{2})}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.4.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.7.1

أخرِج السالب.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- (18 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.4.7.2

اجمع $18$ و $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{18 \cdot 3}{2}}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.4.7.3

اضرب $18$ في $3$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.4.8

اقسِم $54$ على $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.5

اضرب $- 1$ في $27$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

خطوة 8.2.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{9}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

خطوة 8.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.7.1

أخرِج العامل $9$ من $- 27$ .

$f' (\frac{9}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

خطوة 8.2.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{9}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

خطوة 8.2.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{9}{2}) = - 3 \cdot 4$

خطوة 8.2.8

اضرب $- 3$ في $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - 12$

خطوة 8.2.9

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

خطوة 8.3

المشتق في $x = \frac{9}{2}$ هو $- 12$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(3, 6)$ .

تناقص خلال $(3, 6)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f' (7) = \frac{4 (7) ((7) - 6)}{{((7) - 3)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $4$ في $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{{(7 - 3)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اطرح $3$ من $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{4^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{16}$

خطوة 9.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اطرح $6$ من $7$ .

$f' (7) = \frac{28 \cdot 1}{16}$

خطوة 9.2.3.2

اضرب $28$ في $1$ .

$f' (7) = \frac{28}{16}$

خطوة 9.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $28$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.3.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$f' (7) = \frac{4 (7)}{16}$

خطوة 9.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

خطوة 9.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

خطوة 9.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (7) = \frac{7}{4}$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 7$ هو $\frac{7}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(6, \infty)$ .

تزايد خلال $(6, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

تناقص خلال: $(0, 3), (3, 6)$

خطوة 11