حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 1.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

خطوة 1.4.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

خطوة 1.4.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

خطوة 1.5.2

اجمع $\frac{1}{6}$ و $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

خطوة 1.5.3

اجمع $\frac{1}{6}$ و $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{e^{x}}{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- \frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{e^{- x}}{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} e^{- x}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \cdot - 1)$

خطوة 2.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- 1 \cdot e^{- x})$

خطوة 2.3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- e^{- x})$

خطوة 2.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + 1 (\frac{1}{6}) \cdot e^{- x}$

خطوة 2.3.9

اضرب $\frac{1}{6}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{1}{6} \cdot e^{- x}$

خطوة 2.3.10

اجمع $\frac{1}{6}$ و $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{e^{- x}}{6}$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{1}{6}$ و $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x}}{6} + \frac{e^{- x}}{6}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

خطوة 4.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 4.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 4.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 4.1.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

خطوة 4.1.4.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

خطوة 4.1.4.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

خطوة 4.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

خطوة 4.1.5.2

اجمع $\frac{1}{6}$ و $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

خطوة 4.1.5.3

اجمع $\frac{1}{6}$ و $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

خطوة 5.2

انقُل $- \frac{e^{- x}}{6}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافتها إلى كلا الطرفين.

$\frac{e^{x}}{6} = \frac{e^{- x}}{6}$

خطوة 5.3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$e^{x} = e^{- x}$

خطوة 5.4

بما أن العددين متساويان في الأساس، إذن تتساوى العبارتان فقط إذا تساوى الأُسان أيضًا.

$x = - x$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$x + x = 0$

خطوة 5.5.1.2

أضف $x$ و $x$ .

$2 x = 0$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 5.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{e^{0}}{6} + \frac{e^{- (0)}}{6}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

خطوة 9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

خطوة 9.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{6}$

خطوة 9.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 + 1}{6}$

خطوة 9.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2}{6}$

خطوة 9.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3}$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{0}}{6}$

خطوة 11.2.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f (0) = \frac{1 + 1}{6}$

خطوة 11.2.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$f (0) = \frac{2}{6}$

خطوة 11.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (0) = \frac{2 (1)}{6}$

خطوة 11.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

خطوة 11.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

خطوة 11.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (0) = \frac{1}{3}$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ .

$(0, \frac{1}{3})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13