حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $\frac{3}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.2.5.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.3.4

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.3.5

اجمع $\frac{- 2}{2}$ و $x$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.3.6.2.4

اقسِم $- x$ على $1$ .

$x^{2} - x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} - x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$x^{2} - x - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

خطوة 2.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{1}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} - x - 2 + 0$

خطوة 2.1.5.2

أضف $x^{2} - x - 2$ و $0$ .

$f' (x) = x^{2} - x - 2$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x - 1 + 0$

خطوة 2.2.3.2

أضف $2 x - 1$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 1$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x - 1$ .

$2 x - 1$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $2 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 1 = 0$

خطوة 3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 1$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{1}{2}$ في $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1^{3}}{2^{3}} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{2^{3}} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{8} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1 + 8}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.3.3

أضف $1$ و $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.4.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.4.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.3.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3 (3)}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3 \cdot 3}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- \frac{1^{2}}{2^{2}}}{2}$

خطوة 4.1.2.4.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- \frac{1}{2^{2}}}{2}$

خطوة 4.1.2.4.4.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- \frac{1}{4}}{2}$

خطوة 4.1.2.4.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 4.1.2.4.6

اضرب $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.6.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} - \frac{1}{2 \cdot 4}$

خطوة 4.1.2.4.6.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} - \frac{1}{8}$

خطوة 4.1.2.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3 - 1}{8}$

خطوة 4.1.2.5.2

اطرح $1$ من $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2}{8}$

خطوة 4.1.2.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2 (1)}{8}$

خطوة 4.1.2.5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

خطوة 4.1.2.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

خطوة 4.1.2.5.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{1}{4}$

خطوة 4.1.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

خطوة 4.1.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

خطوة 4.1.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{4}$

خطوة 4.1.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.9.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 4 + 1}{4}$

خطوة 4.1.2.9.2

أضف $- 4$ و $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

خطوة 4.1.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

خطوة 4.1.2.11

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{1}{2}$ في $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ هي $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{1}{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.4$ في العبارة.

$f'' (0.4) = 2 (0.4) - 1$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $0.4$ .

$f'' (0.4) = 0.8 - 1$

خطوة 6.2.2

اطرح $1$ من $0.8$ .

$f'' (0.4) = - 0.2$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.2$ .

$- 0.2$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0.4$ يساوي $- 0.2$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \frac{1}{2})$

تناقص خلال $(- \infty, \frac{1}{2})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{1}{2}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.6$ في العبارة.

$f'' (0.6) = 2 (0.6) - 1$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $2$ في $0.6$ .

$f'' (0.6) = 1.2 - 1$

خطوة 7.2.2

اطرح $1$ من $1.2$ .

$f'' (0.6) = 0.2$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $0.2$ .

$0.2$

خطوة 7.3

في $0.6$ ، المشتق الثاني هو $0.2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{1}{2}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

خطوة 9