حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{9 x^{2} + 25}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 9 x^{2} + 25$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 25] - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{x (18 x + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (18 x + 0) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

أضف $18 x$ و $0$ .

$\frac{x (18 x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{1}) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{18 x^{1 + 1} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.2.1.1

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2.1.2

اضرب $- 1$ في $25$ .

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2.2

اطرح $9 x^{2}$ من $18 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.3.1

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.3.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3 x$ و $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $3 x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $3 x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x + 5 = 0$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x + 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - 5$

خطوة 2.3.2.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = - 5$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 5$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

خطوة 2.3.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

خطوة 2.3.2.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

خطوة 2.3.2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{5}{3}$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $3 x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $3 x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 5 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 5$

خطوة 2.3.3.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 5$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 5$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{9 x^{2} + 25}{x}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - \frac{5}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{5}{3}$ .

$\frac{9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25}{- \frac{5}{3}}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25) (- \frac{3}{5})$

خطوة 4.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{5}{3}$ .

$(9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25) (- \frac{3}{5})$

خطوة 4.1.2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{3}$ .

$(9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

خطوة 4.1.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$(9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

خطوة 4.1.2.2.3

اضرب $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ في $1$ .

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

خطوة 4.1.2.2.4

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

خطوة 4.1.2.2.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

خطوة 4.1.2.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

خطوة 4.1.2.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$(25 + 25) (- \frac{3}{5})$

خطوة 4.1.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

أضف $25$ و $25$ .

$50 (- \frac{3}{5})$

خطوة 4.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{5}$ إلى بسط الكسر.

$50 (\frac{- 3}{5})$

خطوة 4.1.2.3.2.2

أخرِج العامل $5$ من $50$ .

$5 (10) \frac{- 3}{5}$

خطوة 4.1.2.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$5 \cdot 10 \frac{- 3}{5}$

خطوة 4.1.2.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$10 \cdot - 3$

خطوة 4.1.2.3.3

اضرب $10$ في $- 3$ .

$- 30$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = \frac{5}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{5}{3}$ .

$\frac{9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25}{\frac{5}{3}}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25) \frac{3}{5}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{3}$ .

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

خطوة 4.2.2.2.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

خطوة 4.2.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

خطوة 4.2.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

خطوة 4.2.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$(25 + 25) \frac{3}{5}$

خطوة 4.2.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

أضف $25$ و $25$ .

$50 (\frac{3}{5})$

خطوة 4.2.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $50$ .

$5 (10) \frac{3}{5}$

خطوة 4.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 \cdot 10 \frac{3}{5}$

خطوة 4.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$10 \cdot 3$

خطوة 4.2.2.3.3

اضرب $10$ في $3$ .

$30$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\frac{9 {(0)}^{2} + 25}{0}$

خطوة 4.3.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(- \frac{5}{3}, - 30), (\frac{5}{3}, 30)$

خطوة 5