حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \sin (\frac{1}{x}) = 2 x y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} \sin (\frac{1}{x})) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.4

اضرب $x^{2}$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $x^{- 2}$ .

$x^{- 2} x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{- 2 + 2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.4.3

أضف $- 2$ و $2$ .

$x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط $x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1))$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.5.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $\cos (\frac{1}{x})$ .

$- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.5.3

أعِد كتابة $- 1 \cos (\frac{1}{x})$ بالصيغة $- \cos (\frac{1}{x})$ .

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) (2 x)$

خطوة 2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 (x y' + y)$

خطوة 3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x y' + 2 y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) = 2 x y' + 2 y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 x y' + 2 y = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$ .

$2 x y' + 2 y = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$

خطوة 5.2

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$2 x y' = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) - 2 y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $2 x y' = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) - 2 y$ على $2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 x y' = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) - 2 y$ على $2 x$ .

$\frac{2 x y'}{2 x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x y'}{2 x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x \sin (\frac{1}{x})}{x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

خطوة 5.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x \sin (\frac{1}{x})}{x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

اقسِم $\sin (\frac{1}{x})$ على $1$ .

$y' = \sin (\frac{1}{x}) + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

خطوة 5.3.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y$ .

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{2 (- y)}{2 x}$

خطوة 5.3.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{2 (- y)}{2 (x)}$

خطوة 5.3.3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{2 (- y)}{2 x}$

خطوة 5.3.3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 5.3.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} - \frac{y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} - \frac{y}{x}$