حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2}{\sin (x)} + \frac{1}{\cot (x)}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{\sin (x)} + \frac{1}{\cot (x)})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{\sin (x)} + \frac{1}{\cot (x)}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sin (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sin (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sin (x)}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{\sin (x)}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{\sin (x)}$ بالصيغة $\sin^{- 1} (x)$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$2 (- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

خطوة 3.2.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{- 2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

خطوة 3.2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin^{- 2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- 2 \sin^{- 2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]$

خطوة 3.3.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- 2 \sin^{- 2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]$

خطوة 3.3.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$- 2 \sin^{- 2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 3.3.4

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$- 2 \sin^{- 2} (x) \cos (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 3.4.2

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ إلى $\csc^{2} (x)$ .

$- 2 \csc^{2} (x) \cos (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 3.4.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 3.4.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 3.4.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 3.4.3.4

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 3.4.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 3.4.3.6

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{2}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

خطوة 3.4.3.7

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

خطوة 3.4.3.8

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

خطوة 3.4.3.9

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.4.3.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.4.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.4.4.2

افصِل الكسور.

$- (\frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.4.4.3

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$- (\frac{2}{\sin (x)} \cot (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.4.4.4

افصِل الكسور.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.4.4.5

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$- (\frac{2}{1} \csc (x) \cot (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.4.4.6

اقسِم $2$ على $1$ .

$- (2 \csc (x) \cot (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.4.4.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\csc (x) \cot (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.4.4.8

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- 2 \csc (x) \cot (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.4.4.9

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$- 2 \csc (x) \cot (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

خطوة 3.4.4.10

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$- 2 \csc (x) \cot (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - 2 \csc (x) \cot (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc (x) \cot (x) + \sec^{2} (x)$