حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{j = 1}^{200} 2 j (j + 3)$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 j \cdot j + 2 j \cdot 3$

خطوة 1.2

اضرب $j$ في $j$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل $j$ .

$2 (j \cdot j) + 2 j \cdot 3$

خطوة 1.2.2

اضرب $j$ في $j$ .

$2 j^{2} + 2 j \cdot 3$

خطوة 1.3

اضرب $3$ في $2$ .

$2 j^{2} + 6 j$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{j = 1}^{200} 2 j^{2} + 6 j$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{j = 1}^{200} 2 j^{2} + 6 j = 2 \sum_{j = 1}^{200} j^{2} + 6 \sum_{j = 1}^{200} j$

خطوة 3

احسِب قيمة $2 \sum_{j = 1}^{200} j^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(2) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أضف $200$ و $1$ .

$2 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

اضرب $200$ في $201$ .

$2 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $2$ في $200$ .

$2 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.3

أضف $400$ و $1$ .

$2 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

خطوة 3.3.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $40200$ في $401$ .

$2 (\frac{16120200}{6})$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \frac{16120200}{2 (3)}$

خطوة 3.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{16120200}{3}$

خطوة 3.3.2.3

اقسِم $16120200$ على $3$ .

$5373400$

خطوة 4

احسِب قيمة $6 \sum_{j = 1}^{200} j$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(6) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $200$ و $1$ .

$6 \frac{200 \cdot 201}{2}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $200$ في $201$ .

$6 (\frac{40200}{2})$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 (3) \frac{40200}{2}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 3 \frac{40200}{2}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 \cdot 40200$

خطوة 4.3.3

اضرب $3$ في $40200$ .

$120600$

خطوة 5

أضف نتائج المجاميع.

$5373400 + 120600$

خطوة 6

أضف $5373400$ و $120600$ .

$5494000$