حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{\infty} {(\frac{4}{7})}^{i}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{i}$ و $a_{i + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i + 1}}{{(\frac{4}{7})}^{i}}$

خطوة 2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{4}{7})}^{i + 1}$ و ${(\frac{4}{7})}^{i}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{4}{7})}^{i}$ من ${(\frac{4}{7})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i} \frac{4}{7}}{{(\frac{4}{7})}^{i}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i} \frac{4}{7}}{{(\frac{4}{7})}^{i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i} \frac{4}{7}}{{(\frac{4}{7})}^{i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{\frac{4}{7}}{1}$

خطوة 2.2.2.4

اقسِم $\frac{4}{7}$ على $1$ .

$r = \frac{4}{7}$

خطوة 3

بما أن $| r | < 1$ ، إذن السلسلة متقاربة.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $i$ في ${(\frac{4}{7})}^{i}$ .

$a = {(\frac{4}{7})}^{1}$

خطوة 4.2

بسّط.

$a = \frac{4}{7}$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{\frac{4}{7}}{1 - \frac{4}{7}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{1 - \frac{4}{7}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{\frac{7}{7} - \frac{4}{7}}$

خطوة 6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{\frac{7 - 4}{7}}$

خطوة 6.2.3

اطرح $4$ من $7$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{\frac{3}{7}}$

خطوة 6.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{4}{7} (1 (\frac{7}{3}))$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{7}{3}$ في $1$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{3}$

خطوة 6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{3}$

خطوة 6.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{1}{3})$

خطوة 6.6

اجمع $4$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{4}{3}$

الصيغة العشرية:

$1.\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$1 \frac{1}{3}$