حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{17}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{17})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{17}$ و $g (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{17}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 17$ .

$17 u^{16} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 + x^{2}$ و $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $1 - x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.10.2

اضرب $1 + x^{2}$ في $1$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.12.1

انقُل $2$ إلى يسار $1 + x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.12.2

اجمع $\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ و $17$ .

$\frac{(2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x) \cdot 17}{{(1 - x^{2})}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16}$

خطوة 3.3.12.3

انقُل $17$ إلى يسار $2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x$ .

$\frac{17 \cdot (2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{17 (2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{17 ((2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{17 (2 x) + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.2

اضرب $2$ في $17$ .

$\frac{34 x + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{2} x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{1 + 2}) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.6

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{3}) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.7

اضرب $- 2$ في $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.8

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 17 (2 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.9

اضرب $2$ في $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.10

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 (x^{1} x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{1 + 2})}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.12

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{3})}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.13

اضرب $2$ في $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 34 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.14

أضف $34 x$ و $34 x$ .

$\frac{- 34 x^{3} + 68 x + 34 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.15

أضف $- 34 x^{3}$ و $34 x^{3}$ .

$\frac{68 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.16

أضف $68 x$ و $0$ .

$\frac{68 x}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.17

اضرب $\frac{68 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ في $\frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{2} {(1 - x^{2})}^{16}}$

خطوة 3.4.7.18

اضرب ${(1 - x^{2})}^{2}$ في ${(1 - x^{2})}^{16}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.18.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{2 + 16}}$

خطوة 3.4.7.18.2

أضف $2$ و $16$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{18}}$

خطوة 3.4.8

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(- x^{2} + 1)}^{18}}$

خطوة 3.4.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{18}}$

خطوة 3.4.9.2

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $1^{2}$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1^{2} - x^{2})}^{18}}$

خطوة 3.4.9.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{((1 + x) (1 - x))}^{18}}$

خطوة 3.4.9.4

طبّق قاعدة الضرب على $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$