حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \sqrt{y} = 1$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y^{\frac{1}{2}} = 1$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.9

انقُل $y^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.10

اجمع $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.11

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} y' + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.12

اجمع $\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ و $y'$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 3.14

اضرب $y^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} = 0$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد العامل المشترك $y^{\frac{1}{2}}$ الموجود في كل حد.

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

عوّض بقيمة $y^{\frac{1}{2}}$ التي تساوي $u$ .

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $x {y'}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

خطوة 6.3.1.2

اضرب الأُسس في ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

خطوة 6.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

خطوة 6.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{1}} + u = 0$

خطوة 6.3.1.3

بسّط.

$\frac{1}{2 x^{2} y'} + u = 0$

خطوة 6.3.2

اطرح $\frac{1}{2 x^{2} y'}$ من كلا المتعادلين.

$u = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

خطوة 6.4

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $y'$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

خطوة 6.5

اطرح $y^{\frac{1}{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.6

اضرب كلا الطرفين في $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1

بسّط $\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.7.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.7.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.7.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.7.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$x y' = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1

بسّط $- y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.7.2.1.2

اضرب $y^{\frac{1}{2}}$ في $y^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1.2.1

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.7.2.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

خطوة 6.7.2.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1 + 1}{2}}$

خطوة 6.7.2.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}$

خطوة 6.7.2.1.2.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{1}$

خطوة 6.7.2.1.3

بسّط $- 1 \cdot 2 y^{1}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y$

خطوة 6.7.2.1.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x y' = - 2 y$

خطوة 6.8

اقسِم كل حد في $x y' = - 2 y$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اقسِم كل حد في $x y' = - 2 y$ على $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

خطوة 6.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

خطوة 6.8.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

خطوة 6.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 y}{x}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$