حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(2 + 3 x)}^{4} = x y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(2 + 3 x)}^{4}) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 2 + 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + 3 x$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 2.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 2.2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.5

اضرب $3$ في $4$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3} \cdot 1$

خطوة 2.2.7

اضرب $12$ في $1$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

خطوة 3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{2} + 2 x y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$12 {(2 + 3 x)}^{3} = y^{2} + 2 x y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

خطوة 5.2

بسّط $12 {(2 + 3 x)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد الكتابة.

$y^{2} + 2 x y y' = 0 + 0 + 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

خطوة 5.2.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

خطوة 5.2.3

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (2^{3} + 3 \cdot 2^{2} (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

خطوة 5.2.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 3 \cdot 2^{2} (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

خطوة 5.2.4.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 3 \cdot 4 (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

خطوة 5.2.4.1.3

اضرب $3$ في $4$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 12 (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

خطوة 5.2.4.1.4

اضرب $3$ في $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

خطوة 5.2.4.1.5

اضرب $3$ في $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

خطوة 5.2.4.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $3 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 (3^{2} x^{2}) + {(3 x)}^{3})$

خطوة 5.2.4.1.7

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 (9 x^{2}) + {(3 x)}^{3})$

خطوة 5.2.4.1.8

اضرب $9$ في $6$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + {(3 x)}^{3})$

خطوة 5.2.4.1.9

طبّق قاعدة الضرب على $3 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + 3^{3} x^{3})$

خطوة 5.2.4.1.10

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + 27 x^{3})$

خطوة 5.2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 \cdot 8 + 12 (36 x) + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

خطوة 5.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

اضرب $12$ في $8$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 12 (36 x) + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

خطوة 5.2.5.2

اضرب $36$ في $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

خطوة 5.2.5.3

اضرب $54$ في $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 12 (27 x^{3})$

خطوة 5.2.5.4

اضرب $27$ في $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3}$

خطوة 5.3

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$ على $2 x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$ على $2 x y$ .

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $96$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $96$ .

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 (x y)} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 (x y)} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $432$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $432 x$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 (x y)} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 (x y)} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216 x}{x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216 x}{x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $648$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $648 x^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x^{2}}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.5.1

أخرِج العامل $x$ من $324 x^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.5.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x (y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.6

احذِف العامل المشترك لـ $324$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $324 x^{3}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{3}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.7

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.7.1

أخرِج العامل $x$ من $162 x^{3}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.7.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.8

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.8.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

خطوة 5.4.3.1.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.8.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{- y}{2 x}$

خطوة 5.4.3.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} - \frac{y}{2 x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} - \frac{y}{2 x}$