حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x + y^{2})}^{10} = 3 x^{2} + 7$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(x + y^{2})}^{10}) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 7)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{10}$ و $g (x) = x + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 10$ .

$10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + y^{2}$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $6 x$ و $0$ .

$6 x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$ على $10 {(x + y^{2})}^{9}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$ على $10 {(x + y^{2})}^{9}$ .

$\frac{10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{10 {(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{10 {(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

خطوة 5.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{{(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + y^{2})}^{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{{(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

خطوة 5.1.2.2.2

اقسِم $1 + 2 y y'$ على $1$ .

$1 + 2 y y' = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

خطوة 5.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10 {(x + y^{2})}^{9}$ .

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{2 (5 {(x + y^{2})}^{9})}$

خطوة 5.1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{2 (5 {(x + y^{2})}^{9})}$

خطوة 5.1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 + 2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$

خطوة 5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1}{2 y}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1 \cdot \frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

خطوة 5.3.3.2.2

اجمع $- 1$ و $\frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} + \frac{- (5 {(x + y^{2})}^{9})}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

خطوة 5.3.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{\frac{3 x - (5 {(x + y^{2})}^{9})}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

خطوة 5.3.3.2.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$y' = \frac{\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

خطوة 5.3.3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}} \cdot \frac{1}{2 y}$

خطوة 5.3.3.4

اضرب $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}} \cdot \frac{1}{2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

اضرب $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ في $\frac{1}{2 y}$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9} (2 y)}$

خطوة 5.3.3.4.2

اضرب $2$ في $5$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 {(x + y^{2})}^{9} y}$

خطوة 5.3.3.5

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 {(x + y^{2})}^{9} y}$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 y {(x + y^{2})}^{9}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 y {(x + y^{2})}^{9}}$