حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{4}^{18} {(n + 1)}^{2}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(n + 1)}^{2}$ بالصيغة $(n + 1) (n + 1)$ .

$(n + 1) (n + 1)$

خطوة 1.2

وسّع $(n + 1) (n + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$n (n + 1) + 1 (n + 1)$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1)$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $n$ في $n$ .

$n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $n$ في $1$ .

$n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $n$ في $1$ .

$n^{2} + n + n + 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$n^{2} + n + n + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $n$ و $n$ .

$n^{2} + 2 n + 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{n = 4}^{18} n^{2} + 2 n + 1$

خطوة 2

قسّم المجموع لتجعل قيمة البداية لـ $n$ تساوي $1$ .

$\sum_{n = 4}^{18} n^{2} + 2 n + 1 = \sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1 - \sum_{n = 1}^{3} n^{2} + 2 n + 1$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1 = \sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 \sum_{n = 1}^{18} n + \sum_{n = 1}^{18} 1$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\sum_{n = 1}^{18} n^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.2.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$\frac{18 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)}{6}$

خطوة 3.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $18 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$ .

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6}$

خطوة 3.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6 (1)}$

خطوة 3.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6 \cdot 1}$

خطوة 3.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)}{1}$

خطوة 3.2.3.1.2.4

اقسِم $3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$ على $1$ .

$3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$

خطوة 3.2.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

أضف $18$ و $1$ .

$3 \cdot 19 (2 \cdot 18 + 1)$

خطوة 3.2.3.2.2

اضرب $3$ في $19$ .

$57 (2 \cdot 18 + 1)$

خطوة 3.2.3.2.3

اضرب $2$ في $18$ .

$57 (36 + 1)$

خطوة 3.2.3.2.4

أضف $36$ و $1$ .

$57 \cdot 37$

خطوة 3.2.3.2.5

اضرب $57$ في $37$ .

$2109$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $2 \sum_{n = 1}^{18} n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 3.3.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(2) (\frac{18 (18 + 1)}{2})$

خطوة 3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

أضف $18$ و $1$ .

$2 \frac{18 \cdot 19}{2}$

خطوة 3.3.3.1.2

اضرب $18$ في $19$ .

$2 (\frac{342}{2})$

خطوة 3.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{342}{2})$

خطوة 3.3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$342$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\sum_{n = 1}^{18} 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 3.4.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(1) (18)$

خطوة 3.4.3

اضرب $18$ في $1$ .

$18$

خطوة 3.5

أضف نتائج المجاميع.

$2109 + 342 + 18$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $2109$ و $342$ .

$2451 + 18$

خطوة 3.6.2

أضف $2451$ و $18$ .

$2469$

خطوة 4

احسِب قيمة $\sum_{n = 1}^{3} n^{2} + 2 n + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وسّع السلسلة لكل قيمة من قيم $n$ .

$1^{2} + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$1 + 2 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

خطوة 4.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$3 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

خطوة 4.2.4

أضف $3$ و $1$ .

$4 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

خطوة 4.2.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 + 4 + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

خطوة 4.2.6

اضرب $2$ في $2$ .

$4 + 4 + 4 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

خطوة 4.2.7

أضف $4$ و $4$ .

$4 + 8 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

خطوة 4.2.8

أضف $8$ و $1$ .

$4 + 9 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

خطوة 4.2.9

أضف $4$ و $9$ .

$13 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

خطوة 4.2.10

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$13 + 9 + 2 \cdot 3 + 1$

خطوة 4.2.11

اضرب $2$ في $3$ .

$13 + 9 + 6 + 1$

خطوة 4.2.12

أضف $9$ و $6$ .

$13 + 15 + 1$

خطوة 4.2.13

أضف $15$ و $1$ .

$13 + 16$

خطوة 4.2.14

أضف $13$ و $16$ .

$29$

خطوة 5

استبدِل المجاميع بالقيم التي تم إيجادها.

$2469 - 29$

خطوة 6

اطرح $29$ من $2469$ .

$2440$