حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{6 x}{7 e^{5 x}}$

خطوة 1

بما أن $\frac{6}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{6 x}{7 e^{5 x}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{5 x}}]$ .

$\frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{5 x}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{5 x}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{{(e^{5 x})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب الأُسس في ${(e^{5 x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{e^{5 x \cdot 2}}$

خطوة 3.1.2

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{e^{10 x}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{e^{10 x}}$

خطوة 3.3

اضرب $e^{5 x}$ في $1$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} - x \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{e^{10 x}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}{e^{10 x}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} - x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}{e^{10 x}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} - x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{e^{10 x}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} - x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{10 x}}$

خطوة 5.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} - 5 x (e^{5 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{10 x}}$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} - 5 x (e^{5 x} \cdot 1)}{e^{10 x}}$

خطوة 5.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $e^{5 x}$ في $1$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{e^{5 x} - 5 x e^{5 x}}{e^{10 x}}$

خطوة 5.4.2

اضرب $\frac{6}{7}$ في $\frac{e^{5 x} - 5 x e^{5 x}}{e^{10 x}}$ .

$\frac{6 (e^{5 x} - 5 x e^{5 x})}{7 e^{10 x}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 e^{5 x} + 6 (- 5 x e^{5 x})}{7 e^{10 x}}$

خطوة 6.2

اضرب $- 5$ في $6$ .

$\frac{6 e^{5 x} - 30 x e^{5 x}}{7 e^{10 x}}$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 30 e^{5 x} x + 6 e^{5 x}}{7 e^{10 x}}$

خطوة 6.4

أخرِج العامل $6 e^{5 x}$ من $- 30 e^{5 x} x + 6 e^{5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $6 e^{5 x}$ من $- 30 e^{5 x} x$ .

$\frac{6 e^{5 x} (- 5 x) + 6 e^{5 x}}{7 e^{10 x}}$

خطوة 6.4.2

أخرِج العامل $6 e^{5 x}$ من $6 e^{5 x}$ .

$\frac{6 e^{5 x} (- 5 x) + 6 e^{5 x} (1)}{7 e^{10 x}}$

خطوة 6.4.3

أخرِج العامل $6 e^{5 x}$ من $6 e^{5 x} (- 5 x) + 6 e^{5 x} (1)$ .

$\frac{6 e^{5 x} (- 5 x + 1)}{7 e^{10 x}}$

خطوة 6.5

احذِف العامل المشترك لـ $e^{5 x}$ و $e^{10 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $e^{10 x}$ من $6 e^{5 x} (- 5 x + 1)$ .

$\frac{e^{10 x} (6 e^{- 5 x} (- 5 x + 1))}{7 e^{10 x}}$

خطوة 6.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

أخرِج العامل $e^{10 x}$ من $7 e^{10 x}$ .

$\frac{e^{10 x} (6 e^{- 5 x} (- 5 x + 1))}{e^{10 x} \cdot 7}$

خطوة 6.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{10 x} (6 e^{- 5 x} (- 5 x + 1))}{e^{10 x} \cdot 7}$

خطوة 6.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6 e^{- 5 x} (- 5 x + 1)}{7}$

خطوة 6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 x$ .

$\frac{6 e^{- 5 x} (- (5 x) + 1)}{7}$

خطوة 6.7

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{6 e^{- 5 x} (- (5 x) - 1 (- 1))}{7}$

خطوة 6.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{6 e^{- 5 x} (- (5 x - 1))}{7}$

خطوة 6.9

أعِد كتابة $- (5 x - 1)$ بالصيغة $- 1 (5 x - 1)$ .

$\frac{6 e^{- 5 x} (- 1 (5 x - 1))}{7}$

خطوة 6.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(6 e^{- 5 x}) (5 x - 1)}{7}$

خطوة 6.11

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(6 e^{- 5 x}) (5 x - 1)}{7}$ .

$- \frac{6 e^{- 5 x} (5 x - 1)}{7}$