حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (x) = x^{2} \log_{3} (x - π)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \log_{3} (x - π)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x - π)] + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \log_{3} (x)$ و $g (x) = x - π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - π$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2

مشتق $\log_{3} (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - π$ .

$x^{2} (\frac{1}{(x - π) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{(x - π) \ln (3)}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π] + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - π$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [- π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4

بما أن $- π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (1 + 0) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} \cdot 1 + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.5.2

اضرب $\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)}$ في $1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \log_{3} (x - π) (2 x)$

خطوة 4

جمّع $\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)}$ و $\log_{3} (x - π) (2 x)$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $\log_{3} (x - π)$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + 2 x \log_{3} (x - π)$

خطوة 4.2

لكتابة $2 x \log_{3} (x - π)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + 2 x \log_{3} (x - π) \cdot \frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$

خطوة 4.3

اجمع $2 x \log_{3} (x - π)$ و $\frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \frac{2 x \log_{3} (x - π) ((x - π) \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) ((x - π) \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) (x \ln (3) - π \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) (x \ln (3) - π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

خطوة 5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

بسّط $2 \log_{3} (x - π)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{x^{2} + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (x \ln (3) - π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

خطوة 5.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (x \ln (3)) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

خطوة 5.3.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x^{2} + \ln (3) x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) x + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

خطوة 5.3.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{2} + \ln (3) (x \cdot x) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

خطوة 5.3.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + \ln (3) x^{2} \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

خطوة 5.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $x^{2} + \ln (3) x^{2} \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) - x π \log_{3} ({(x - π)}^{2}) \ln (3)}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) - π x \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2})}{x \ln (3) - π \ln (3)}$