حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{y^{4}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.4

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} (y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.5

اجمع $y^{3}$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4}{4} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.6

اجمع $\frac{y^{3} \cdot 4}{4}$ و $y'$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4 y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.7

انقُل $4$ إلى يسار $y^{3}$ .

$\frac{4 \cdot y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.2.8.2

اقسِم $y^{3} y'$ على $1$ .

$y^{3} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{8 y^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = y^{2}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.6

اضرب $y^{2}$ في $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.9

اطرح $2 y y'$ من $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.10

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.10.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.3.10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

خطوة 3.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.11.1

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

خطوة 3.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.11.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{4}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

خطوة 3.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

خطوة 3.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

خطوة 3.3.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} (- \frac{(2) y'}{y^{3}})$

خطوة 3.3.13

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{2 y'}{y^{3}}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{8 y^{3}}$

خطوة 3.3.14

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y'$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{8 y^{3}}$

خطوة 3.3.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.14.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8 y^{3}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{2 (4 y^{3})}$

خطوة 3.3.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{2 (4 y^{3})}$

خطوة 3.3.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ .

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$

خطوة 5.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, 4 y^{3}, 1$

خطوة 5.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$4 y^{3}$

خطوة 5.3

اضرب كل حد في $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ في $4 y^{3}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب كل حد في $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ في $4 y^{3}$ .

$y^{3} y' (4 y^{3}) - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 y^{3} y' y^{3} - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

خطوة 5.3.2.1.2

اضرب $y^{3}$ في $y^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

انقُل $y^{3}$ .

$4 (y^{3} y^{3}) y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

خطوة 5.3.2.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 y^{3 + 3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

خطوة 5.3.2.1.2.3

أضف $3$ و $3$ .

$4 y^{6} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

خطوة 5.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4 y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y'}{4 y^{3}}$ إلى بسط الكسر.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

خطوة 5.3.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

خطوة 5.3.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 y^{6} y' - y' = 1 (4 y^{3})$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اضرب $4 y^{3}$ في $1$ .

$4 y^{6} y' - y' = 4 y^{3}$

خطوة 5.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $4 y^{6} y' - y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أخرِج العامل $y'$ من $4 y^{6} y'$ .

$y' (4 y^{6}) - y' = 4 y^{3}$

خطوة 5.4.1.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y'$ .

$y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1 = 4 y^{3}$

خطوة 5.4.1.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{6} - 1) = 4 y^{3}$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة $4 y^{6}$ بالصيغة ${(2 y^{3})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1) = 4 y^{3}$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1^{2}) = 4 y^{3}$

خطوة 5.4.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2 y^{3}$ و $b = 1$ .

$y' ((2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)) = 4 y^{3}$

خطوة 5.4.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$

خطوة 5.4.5

اقسِم كل حد في $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ على $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.1

اقسِم كل حد في $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ على $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

خطوة 5.4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y^{3} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

خطوة 5.4.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

خطوة 5.4.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y^{3} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

خطوة 5.4.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$