حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{x^{2} + x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + x})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + x}$ بالصيغة ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{- 1}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + x$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + 1)$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$

خطوة 3.4.2

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

خطوة 3.4.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

خطوة 3.4.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

خطوة 3.4.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x)}^{2}}$

خطوة 3.4.6.1.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2}}$

خطوة 3.4.6.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.6.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}}$

خطوة 3.4.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $x (x + 1)$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.7

اضرب $- 2 x - 1$ في $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.9

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.11

أعِد كتابة $- (2 x + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$