حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (θ) = \frac{7}{5} \sin^{2} (2 θ)$

خطوة 1

بما أن $\frac{7}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $\frac{7}{5} \sin^{2} (2 θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\frac{7}{5} \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]$ .

$\frac{7}{5} \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = θ^{2}$ و $g (θ) = \sin (2 θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (2 θ)$ .

$\frac{7}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{7}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (2 θ)$ .

$\frac{7}{5} (2 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)])$

خطوة 3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $2$ و $\frac{7}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{5} (\sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)])$

خطوة 3.2

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{14}{5} (\sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)])$

خطوة 3.3

اجمع $\sin (2 θ)$ و $\frac{14}{5}$ .

$\frac{\sin (2 θ) \cdot 14}{5} \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]$

خطوة 3.4

انقُل $14$ إلى يسار $\sin (2 θ)$ .

$\frac{14 \cdot \sin (2 θ)}{5} \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = \sin (θ)$ و $g (θ) = 2 θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 θ$ .

$\frac{14 \sin (2 θ)}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ])$

خطوة 4.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$\frac{14 \sin (2 θ)}{5} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 θ$ .

$\frac{14 \sin (2 θ)}{5} (\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\cos (2 θ)$ و $\frac{14 \sin (2 θ)}{5}$ .

$\frac{\cos (2 θ) (14 \sin (2 θ))}{5} \frac{d}{d θ} [2 θ]$

خطوة 5.2

انقُل $14$ إلى يسار $\cos (2 θ)$ .

$\frac{14 \cdot \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5} \frac{d}{d θ} [2 θ]$

خطوة 5.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $2 θ$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$\frac{14 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5} (2 \frac{d}{d θ} [θ])$

خطوة 5.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اجمع $2$ و $\frac{14 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5}$ .

$\frac{2 (14 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{5} \frac{d}{d θ} [θ]$

خطوة 5.4.2

اضرب $14$ في $2$ .

$\frac{28 (\cos (2 θ) \sin (2 θ))}{5} \frac{d}{d θ} [θ]$

خطوة 5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{28 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5} \cdot 1$

خطوة 5.6

اضرب $\frac{28 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5}$ في $1$ .

$\frac{28 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5}$