حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (t) = \cos (\frac{1}{t}) e^{5 t^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = \cos (\frac{1}{t})$ و $g (t) = e^{5 t^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t^{2}}] + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 5 t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $5 t^{2}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 t^{2}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (5 \frac{d}{d t} [t^{2}])) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (5 (2 t))) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $5$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = \frac{1}{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\frac{1}{t}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

خطوة 4.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\frac{1}{t}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{t}$ بالصيغة $t^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [t^{- 1}])$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) (- t^{- 2}))$

خطوة 5.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (1 \sin (\frac{1}{t}) t^{- 2})$

خطوة 5.3.2

اضرب $\sin (\frac{1}{t})$ في $1$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\sin (\frac{1}{t}) t^{- 2})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\sin (\frac{1}{t}) \frac{1}{t^{2}})$

خطوة 6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\sin (\frac{1}{t})$ و $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} \frac{\sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

خطوة 6.2.2

اجمع $e^{5 t^{2}}$ و $\frac{\sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$10 e^{5 t^{2}} t \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

خطوة 6.4

أعِد ترتيب العوامل في $10 e^{5 t^{2}} t \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$ .

$10 t e^{5 t^{2}} \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$